4.1微分方程的基本概念.ppt

* 第一节 常微分方程 * 第四章 常微分方程 1、微分方程的基本概念 2、一阶微分方程 3、二阶线次微分方程 第一节 常微分方程 O、背景 一、引例 二、概念和公式导出 三、案例 函数是反映客观世界运动过程中量与量之间的一种关系，寻求函数关系在实践中具有重要意义。许多实际问题，往往不能直接找出需要的函数关系，却比较容易列出表示未知函数及其导数(或微分)与自变量之间关系的等式．这样的等式就是微分方程．1676年詹姆士．贝努利致牛顿的信中第一次提出微分方程，直到十八世纪中期，微分方程才成为一门独立的学科.微分方程建立后，立即成为研究、了解和知晓现实世界的重要工具．1846年,数学家与天文学家合作，通过求解微分方程，发现了一颗有名的新星—--—--海王星．1991年，科学家在阿尔卑斯山发现一个肌肉丰满的冰人，据躯体所含碳原子消失的程度，通过求解微分方程，推断这个冰人大约遇难于5000年以前，类似的实例还有很多．在微分方程的发展史中，数学家牛顿、莱布尼兹、贝努利家族、拉格朗日、欧拉、拉普拉斯等等都做出了卓越的贡献． 背景 一、引例 [曲线方程] 一平面曲线上任一点的切线斜率等于该点横坐标的二倍，试 建立该曲线满足的方程式． 解 设所求曲线为 由导数的几何意义知，曲线上任一点 处的切线斜率为 根据题意有 即 二、概念和公式的引出 凡含有未知函数导数(或微分)的方程，称为微分方程．微分方程 有时也简称为方程． 未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程． 微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶. 任何满足微分方程的函数都称作微分方程的解． 如果微分方程中含有任意常数，且独立变化的任意常数的个数与 微分方程的阶数相同，这样的解称作微分方程的通解．不含任意 常数的解称作微分方程的特解． 三、案例 案例1 [死亡年代的测定] 遗体死亡之后，体内碳 的含量就不断 减少，已知碳 的衰变速度与当时体内碳 的含量成正比，试建立 解 设 时刻遗体内碳 的含量为 ,根据题意有 常数 等式右端的负号是由于 随时间 的增加而减少． 含量应满足的方程． 任意时刻遗体内碳 研究 案例2 [自由落体运动] 一质量为 的质点,在重力作用下自由下落, 求其运动方程. 解 建立坐标系如图，坐标原点取在水平地面, 轴铅直向上,设在时刻 故由牛顿第二定律得质点满足的方程为 或 通过积分容易得出 其中 是两个独立变化的任意常数． 质点的位置是 ,由于质点只受重力 作用,且力的方向与 轴正向相反，