§集合元素的計數.doc

§邏輯、集合與計數原理 主題1：函數的基本概念 1.函數：給定兩非空集合與，中的每一元素，中恰有一個元素與之對應，則我們稱這種對應法則為”從映到的函數”，記為：，叫做的函數值，用符號表示。集合稱為函數的定義域，集合稱為函數的對應域。全體函數值所成的集合稱為的對應域，即。(映射)，此對應關係稱為函數 ：定義域；：對應域；：值域 2.常用的函數： (1)1-1函數(嵌射)：設為一函數，若且時，恆有，則稱為由映至的一對一函數。 (2)映成函數(蓋射)：為一函數，若，為映成函數。 (3)一對一且映成函數亦稱為對射。 (4)合成函數：設為兩函數，對每一，，。中每一元素，在中恰有一元素與之對應，此種對應關係是由映至的一函數，我們把函數定義為，與的合成函數，記作。(減)函數：函數圖形如果由左至右逐漸升高(下降)，則稱此函數為遞增(減)函數。 (6)偶函數：若函數滿足，為偶函數。 (7)奇函數：若函數滿足，為奇函數。 (8)[]高斯函數：不大於的最大整數，[]=。 (9)週期函數：，稱為週期函數；為週期。 ※重要範例 1.下列x，y的關係式，何者可表成y是x的函數？(A) y ( x2　(B) y ( x3　(C) x2 ( y2 ( 1　(D) 2x ( 3y ( 5　(E) x ( y2 【解答】(A)(B)(D) 隨堂練習 【解答】ACD 【詳解】　由A映至B的函數﹕A中每一元素都要有B中的一個元素與之對應﹐且可以多對一﹐但不能一對多。 2.設函數f (x) (，則f之定義域D ( 　　　　　，值域f (D) ( 　　　　　。 【解答】D ( [2，4]；f (D) ( [0，1] 【詳解】f (x) (　(　6x ( 8 ( x2 ( 0　(　x2 ( 6x ( 8 ( 0(　(x ( 2)(x ( 4) ( 0　(　2 ( x ( 4∴　定義域D ( [2，4] ( {x | x ( R，2 ( x ( 4}又y ((；當x ( 3時，y有最大值 ( 1； 當x ( 2或4時，y有最小值 ( 0　(　0 ( y ( 1∴　值域 ( [0，1] ( {y | y ( R，0 ( y ( 1} 隨堂練習，則f之定義域D ( 　　　　　，值域f (D) ( 　　　　　。 【解答】(2，3)；[2，() 【詳解】5x ( x2 ( 6 ( 0　(　x2 ( 5x ( 6 ( 0　(　(x ( 2)(x ( 3) ( 0　(　2 ( x ( 3∴　D ( {x | x(R，2 x 3} ( (2，3)令t ( 5x ( x2 ( 6 ( ( x2 ( 5x ( 6 ( ( ( x ()2 (，2 ( x ( 3當x (時，t有最大值；當x ( 2或3時，t有最小值0(當2 x 3時，0 ( 5x ( x2 ( 6 ((0 (((( 2，f (x) ( 2 ∴　值域f (D) ( {y | y(R，y ( 2} ( [2，() 3.設函數f (x) ( 3x ( 1，g(x) ( 5x ( k，若f (g (x)) ( g (f (x))，則k (　　　　　。 【解答】2 【詳解】已知f (x) ( 3x ( 1，g (x) ( 5x ( kf (g (x)) ( g(f (x))　(　3(5x ( k) ( 1 ( 5(3x ( 1) ( k　(　15x ( (3k ( 1) ( 15x ( (5 ( k)∴　3k ( 1 ( 5 ( k　(　k ( 2 4.已知函數f具有下列性質：f (x ( 5) ( f (x)，f (( x) ( ( f (x)，f () ( 1，求(1) f () (　　　　　。　(2) f () (　　　　　。　(3) f (12) ( f (( 7) (　　　　　。 【解答】(1) 1　(2) (1　(3)0 【詳解】(1) f () ( f (( 5) ( f () ( 1(2) f () ( f ((( 10) ( f (() ( ( f () ( (1(3) f (12) ( f (( 7) ( f (7 ( 5) ( f (7) ( f (7) ( f (7) ( 0 隨堂練習 【解答】(A)(B)(C)(D) 【詳解】(A) f (5) ( 2 ( 5 ( 7 ( 17(B) f (( 36) ( f (( 36 ( 5) ( f (( 31) ( f ((31 ( 5) ( f ((26) ( … ( f (( 1) ( f (4) ( 15(C) f (1003) ( f (3) ( f (8) ( 23(D) f (3) ( f (8) ( 23(E) f (0) ( f (5) ( 17 5.設f (x) ( ，g (x)