浅析排列组合中的重复计算问题-无锡市洛社高级中学.doc

例析排列组合中的重复计算的产生及对策 无锡市洛社高级中学 戎钢 学生在解排列组合的题目时，往往容易出现考虑不周全，漏解的情况。另外有些类型的排列组合题目较容易出现重复计算的问题，而且此类问题较隐蔽，学生不容易发现。在解题时，应做到既不重复遗漏，又能判断解题的正误，并能加以剖析。这样对于学生解题能力的提高大有好处。 一、分步引起的重复计算 例1:从4台甲型机和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型机各1台，则不同的取法有多少种？ 【错解】先保证各1台，在从剩下的机子中任取一台。即分三步：第一步从甲型机中取一台，有种取法；第二步从乙型机中取一台，有种取法；第三步从剩下的七台机子中取一台，有种取法，根据乘法原理，共有种取法。 【分析】设甲型机种有a、b两台机子 ，乙型机中有A、B两台机子，根据上述选法，其中有一种取法可以是“先选a，再选A，再选b”,另外一种取法是“先选b，再选A，再选a”。而很明显，上述两种取法是同一种结果，出现重复。 究其原因是本题使用的是分类计数原理（分步原理）。而分步必然有先有后，也就有顺序，跟排列有关。本题中无论是取两台甲型机还是两台乙型机，对于这两台机而言，只是一个组合，没有先后，因此重复了两遍。 【正解】根据结果分类，第一类：两台甲型机，有种取法；第二类：两台乙型机，有种取法，根据分类计数原理，共有种取法。 二、涉及到平均分组中的重复计算 例2:袋中有红、白、黄球各一个，每次任取一球，记下颜色后放回，当各种颜色均被取到时结束，则取球结束时，一共取了五次的不同取法有多少种？ 【错解】由题意，第五次一定是第三种颜色的球。前四次取到其他两种颜色的球。先分步，第五次有种颜色的可能，再分类讨论前四次的情况，第一类：剩下的两种颜色的球，一种颜色的取到三次，另外一种取到一次。分步完成，先选出一种颜色，被取到三次，有种可能，然后这种颜色在前四次中被取到有中情况，共有种情况；第二类，类似第一类，共有种情况，由分步原理共有种不同的取法。 【剖析】本题中在分类时涉及到平均分组的问题。在第二类中两种颜色各取到两次的情况，计数重复。比如假设第五次取到白色，选取的是红色，在四次取球中，中前两次是红色，后两次是黄色，即红红黄黄白是其中一种情况；若选取的是黄色，在四次取球中，后两次是黄色，前两次是黄色，对于该算法来讲是不同的两次，而结果是相同的，应是。 【正解】本题可以通过举例探究，分类讨论避开平均分组。不妨假设最后一次取的是白球（由分步原理应是种可能）则前四次应只有红色和黄色。可进一步细分为三类：三红一黄，两红两黄，一红三黄，各有、、种可能。由等可能性，共有种可能。 平均分组高考没有明确要求，但06年江苏最后一道选择题却又涉及到。学生对平均分组计数时么除以组数的全排列难以理解，解题时也不容易想到。本题通过特殊化的思想，通过举例探究，找到相同点，弄清楚其中的关系，思路相对自然，容易接受和理解。 三、分类不清引起的重复 例3：定义非空集合A的真子集的真子集为A的“孙集”，则集合{1，3，5，7}的孙集的个数为________。 【解析】本题源于课本，又高于课本。根据真子集的定义，学生不难写出集合{1，3，5，7}的真子集，应有24－1＝15个，然后在找出每个真子集的真子集即可。由于四元子集的真子集可以分为三类即空集；一元真子集；二元真子集；三元真子集。空集没有真子集，一元集合的真子集有2个，其中一个为空集；二元集合的真子集有3个，其中一个为空集；三元集合的真子集有7个，其中一个为空集。除去空集重复，一共有种。 上述解法是错的。仍以举例分析。一元真子集如{1}或{3}等等，其真子集只能是空集，仅算一个；二元子集如{1,3}或{1,5}等等，其真子集为空集和一元集合{1},{3},{5}，……，不难发现，一元真子集也有重复，三元集合的真子集也也有类似的重复。因此上述解法由于分类后并不清楚，仍有重复计算。 正确的解法：由分析不难看出，尽管每种分类都有重复，但可以发现，其孙集必为真子集，而且最多是二元真子集。所以分三类：空集；一元集合，有个；二元集合，有个，共计个。 对策：此类重复计算问题往往比较隐蔽，学生易犯错误，而且不易察觉。但仔细回顾这三道例题，我们还是有规律可寻，有方法可依的。 一、通过题组训练，强化模式识别。 对于易产生重复的题目有很多还是有相似之处的。可以通过题组的形式，让学生强化对该类题目的辨析和认识。笔者列举如下一组问题，请读者仔细考虑。 （1）袋中装有大小相同、编号各不相同的五个红球、四个黑球，从中取出5个，红球，黑球各至少有2个的不同取法有多少种？ （2）某演出队有9名歌舞演员，其中7人会表演唱歌节目，5人会表演舞蹈节目，今从9人中选2人，1人表演唱歌，1人表演舞蹈，则不同的选法有多少种？ （3）