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北师大版高中数学(必修1)高频考点例析
高中数学必修1高频考点例析(1)
宝鸡市石油中学(721001) 史文刚
笔者对北师大版高中数学(必修一)中涉及的高考考点做了统计:其中集合4个:集合的概念,集合的表示法,子集与包含关系,集合的交并补运算;函数17个: 函数的奇偶性,分段函数,二次函数,幂函数,指数幂,幂的运算性质,指数函数的图像,指数函数的性质,对数的概念,对数的运算,换底公式,对数函数的图像,对数函数的性质,函数与方程,二分法求方程的近似解,函数模型,函数模型的应用;但考查频率较高(简称高频)的考点只有十多个.限于篇幅所限,现就有关高频考点分析如下:
考点1 集合的概念 上定义两种运算和如下
那么
A. B. C. D.
分析:本题以数表形式定义新的运算,建立在集合上,运算结果必然为A中元素.
解:由上表可知:,故,选A
点评:本题以集合为载体,给出一种新定义,考查利用所学知识分析问题解决问题的能力.
【例2】(2010,福建省)设非空集合满足:当时,有.给出如下三个命题:
①若,则;
②若,则;
③若,则.
其中正确命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
分析:用题设“设非空集合满足:当时,有.”对所给命题逐一验证.
解:当m=1时,①正确;当m=时,②不正确;同样若时,③正确.
答案:D
点评:本题考查了集合的概念,分类讨论的思想以及运算求解的能力.解决此类问题时,关键需要分类讨论,但要注意分类的合理性和不重不漏的要求.
考点2 集合间的关系
集合的基本关系包括:子集、真子集、相等关系三种,掌握两个集合之间的基本关系的判别方法,利用其他们之间关系,就可以确定集合中元素与参数的范围.
【例3】(2011,江西省)若全集,则集合等于( )
A. B. C. D.
解析:,,,
答案:D.
点评:本题表面上看是考查集合的交补运算和逆向思维的能力,其实也进一步考察了集合之间的关系.
【例4】已知集合,
若,求实数的取值范围.
分析:由,得,从表面上看得出了答案,但忽略了“空集是任何集合的子集”这一结论,即忽略了当时,同时满足题意.
解:,即.
又由,得,.
当时,即,得.
综上所述:.
点评:从以上解答可以看出:解决有关的集合问题时,一定要注意对空集的讨论,在解题的过程中要从不同的角度思考问题.
考点3 集合间的运算关系
集合之间的运算关系包括交集、并集、补集.集合之间的运算和定义一种新运算是高考的热点,重点应掌握交集、并集、补集中元素具有的性质,学会用Venn图解题.
【例5】(2011,安徽省)设集合则满足且的集合为
(A)57 (B)56 (C)49 (D)8
分析:此题是一道集合元素(个数)的推导题,需弄清各集合之间的关系,然后根据题意推导出结果.
解:集合A的所有子集共有个,其中不含4,5,6,7的子集有个,所以集合共有56个.故选B.
点评:近几年的高考中,考查集合间的基本关系、集合的基本运算、子集问题的题目,可以说数见不鲜,确实成为一个命题的热点.这类问题用数形结合来解题总能一目了然,可以快捷地解答出看似复杂的题,尤其适用于解答选择题和填空题.
考点4、函数的概念
函数是一个重要的数学概念.它包括定义域、值域、解析式等要素.高考对这个概念的考查总是通过多种方式进行.
【例6】 (2011年,四川)函数的定义域为A,若且时总有,则称为单函数.例如,函数=2x+1()是单函数.下列命题:
①函数(xR)是单函数;
②指数函数(xR)是单函数;
③若为单函数,且,则;
④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数.
其中的真命题是_________.(写出所有真命题的编号)
分析:对于①,若,则,不满足;②是单函数;命题③实际上是单函数命题的逆否命题,故为真命题;根据定义,命题④满足条件.
答案:②③④.
点评:高考对函数概念的考查总是通过多种方式进行.本题是一个新概念题,主要考查学生应用数学知识分析问题、解决问题的能力以及逻辑思维能力.
【例7】(2011,安徽省)函数的定义域是 .
由可得,即,所以.(-3,2)本题考查函数的定义域,考查一元二次不等式的解法.,令即可;,令即可;,令即可.
【例8】设函数的定义域为【0,1】,求下列函数的定义域.
(1);
(2)
分析:求复合函数的定义域的一般步骤是:若已知函数的定义域为【a,b】,其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式解出即可.
解:(1)是以为自变量,f为对应法则的函数,
,
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