有向图.ppt

图 图（Graph）是一种较线性表和树更为复杂的非线性结构。在线性结构中，结点之间的关系是线性关系，除开始结点和终端结点外，每个结点只有一个直接前趋和直接后继。在树形结构中，结点之间的关系实质上是层次关系，同层上的每个结点可以和下一层的零个或多个结点（即孩子）相关，但只能和上一层的一个结点（即双亲）相关（根结点除外）。然而在图结构中，对结点（图中常称为顶点）的前趋和后继个数都是不加限制的，即结点之间的关系是任意的。图中任意两个结点之间都可能相关。由此，图的应用极为广泛，特别是近年来的迅速发展，已渗透到诸如语言学、逻辑学、物理、化学、电讯工程、计算机科学以及数学的其它分支中。 基本定义和术语 若图G中的每条边都是有方向的，则称G为有向图（Digraph）。在有向图中，一条有向边是由两个顶点组成的有序对，有序对通常用尖括号表示。例如，＜vi，vj＞表示一条有向边，vi是边的始点（起点），vj是边的终点。因此，＜vi，vj＞和＜vj，vi＞是两条不同的有向边。有向边也称为弧（Arc），边的始点称为弧尾（Tail），终点称为弧头（Head）。 图G由两个集合V和E组成，记为G＝(V，E)，其中v是顶点的有穷非空集合，E是V中顶点偶对（称为边）的有穷集。通常，也将图G的顶点集和边集分别记为V(G)和E(G)。E(G)可以是空集，若E(G)为空，则图G只有顶点而没有边，称为空图。 若(vi，vj)是一条无向边，则称顶点vi和vj互为邻接点(Adjacent)，或称vi和vj相邻接；称(vi，vj)关联(Incident)于顶点vi和vj，或称(vi，vj)与顶点vi和vj相关联。如图7-1中G2，与顶点vl相邻接的顶点是v2，v3和v4，而关联于顶点v2的边是(vl，v2)，(v2，v3)和(v2，v4)。若＜vi，vj＞是一条有向边，则称顶点vi邻接到vj,顶点vj邻接于顶点vi,并称边＜vi，vj＞关联于vi和vj或称＜vi，vj＞与顶点vi和vj相关联。如图7-1中Gl，关联于顶点v2的边是＜v1，v2＞，＜v2，vl＞和＜v2,v3＞。 无向图中顶点v的度(Degree)是关联于该顶点的边的数目，记为D(v)。若G为有向图，则把以顶点v为终点的边的数目，称为v的人度(1ndegree)，记为ID(v)；把以顶点v为始点的边的数目，称为v的出度(outdegree)，记为OD(v)；顶点v的度则定义为该顶点的入度和出度之和，即D(v)＝ID(v)十OD(v)。 在无向图G中，若存在一个顶点序列vp,vi1,vi2…，vin，vq，使得(vp，vil)，(vi1,vi2)，…，(vin，vq)均属于E(G)，则称顶点vp到vq存在一条路径(Path)。若G是有向图，则路径也是有向的，它由E(G)中的有向边＜vp，vil＞，＜vil，vi2＞，…，＜vin，vq＞组成。路径长度定义为该路径上边的数目。若一条路径上除了vp和vq可以相同外；其余顶点均不相同，则称此路径为一条简单路径。起点和终点相同(vp＝vq)的简单路径称为简单回路或简单环(Cycle)。例如，在图G2中顶点序列vl,v2，v3，v4是一条从顶点vl到顶点v4的长度为3的简单路径；顶点序列vl,v2，v4，vl，v3是一条从顶点vl到顶点v3的长度为4的路径，但不是简单路径；顶点序列vl，v2，v4，vl是一个长度为3的简单环。在有向图Gl中，顶点序列vl，v2，vl是一个长度为2的有向简单环。 在一个有向图中，若存在一个顶点v，从该顶点有路径可以到达图中其它所有顶点，则称此有向图为有根图，v称作图的根。 在无向图G中，若从顶点vi到顶点vj有路径(当然从vj到vi也一定有路径)，则称vi和vj是连通的。若V(G)中任意两个不同的顶点vi和vj都连通(即有路径)，则称G为连通图(Connected Graph)。例如，图G2和G3是连通图。 无向图G的极大连通子图称为G的连通分量(connected Component)。显然，任何连通图的连通分量只有一个，即是其自身，而非连通的无向图有多个连通分量。例如，图7-4中的G4是非连通图，它有两个连通分量Hl和H2。 在有向图G中，若对于V(G)中任意两个不同的顶点vi和vj，都存在从vi到vj以及从vj到vi的路径，则称G是强连通图。有向图G的极大强连通子图称为G的强连通分量。显然，强连通图只有一个强连通分量，即是其自身。非强连通的有向图有多个强连通分量。例如图7-1中的Gl不是强连通图，因为v3到v2没有路径，但它有两个强连通分量， 若将图的每条边都赋上一个权，则称这种带权图为网络(Network)。通常权是具有某种意义的数. 它们可以表示两个顶点之间的距离，耗费等 图的存储结构