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1-1整數-南一書局
第二章 排列組合
2-1集合元素的計數
集合的基本概念
設A={-3 ,-2 ,-1 , 0 , 1 , 2 , 3 },試用描述法表示集合A。
解:設A={ x | x(Z,-3 ( x ( 3 }
已知非空子集S ( N,並且滿足如果x(S,那麼(8-x)(S”。(1) 寫出只含一個元素的所有集合S。(2) 寫出只含二個元素的所有集合S。(3) 滿足題設條件的集合S,共有幾個?
解:(1) S只含一個元素,則x=8-x,所以x=4,故S={ 4 }。(2) S只含二個元素,則x8-x,且x+(8-x)=8。 故S={ 1 , 7 },{ 2 , 6 },{ 3 , 5 }。(3) 滿足題設條件的集合有 A 只含一個元素者:S={ 4 }。 B 只含二個元素者:S={ 1 , 7 },{ 2 , 6 },{ 3 , 5 }。 C 只含三個元素者:S={ 1 , 4 , 7 },{ 2 , 4 , 6 },{ 3 , 4 , 5 }。 D 只含四個元素者:S={ 1 , 2 , 6 , 7 },{ 1 , 3 , 5 , 7 },{ 2 , 3 , 5 , 6 }。 E 只含五個元素者: S={ 1 , 2 , 4 , 6 , 7 },{ 1 , 3 , 4 , 5 , 7 },{ 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }。 F 只含六個元素者:S={ 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 7 }。 G 只含七個元素者:S={ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 }。 總計S有1+3+3+3+3+1+1=15(個)。
集合M具有下列性質:如果x(M,那麼( M。今已知5( M,求M至少有多少元素?
解:5( M ( M ( M? ( M ( M所以M至少有 ,- ,- , }這些元素。
【註】若a( M(a≠-1,0,1),則,-,都屬於M;而當x=時,則=a(回到原來元素),故M至少有四個元素。M={ a , , - , , … }。
“良序原則(Well ordering principle)是指:設S是N的非空子集,則S含有最小元素。(即存在a0( S,使得S中所有元素a ( a0)現在證明:“數學歸納法良序原則(是等價的)。
證明:(1) “數學歸納法良序原則 設S是N的任一個非空子集,但S沒有最小元素。(反證法) 令M={ x | x(N,x小於S中每一個數 }。 因1是自然數集N的最小數,而S沒有最小數, 所以1( S且1( M。 假設m(M,現在設法證明它的後繼元素m(=m+1(M。 事實上,如果m+1( M,依M的定義知:存在元素a1( S使a1 ( m+1。 又因S中沒有最小元素,故又存在元素a2( S使a2<a1 ( m+1,由此推得a2 ( m,此與m( M相矛盾。 所以M滿足:當m( M時,則m+1( M。 由數學歸納法知:M=N。但S是非空,所以S中至少有一個數t。 但t( N=M,即t( S,又t( M,依M的定義得出t<t的矛盾結果, 所以S必有最小元素。(2) “良序原則數學歸納法 設M ( N且滿足 (i) 1( M。 (ii) 若a( M,則a(=a+1( M。 欲證:M=N。 用反證法,假設MN,令={ b | b( N,b( M }。 由於假設MN(M ( N),所以是N的非空子集。 依良序原則, 含最小元素b0,但已知1( M,所以1( ,即b0>1。 b0-1<b0,所以b0-1( (b0是M的最小元素),從而得到b0-1( M。 再由M所滿足的第(ii)個性質知(b0-1)+1( M,即b0( M。 這就產生了b0( ,又b0( M的矛盾,所以M=N。
從集合的包含關係判別命題:p → q的真偽設N為宇集,p,q,t分別表下列敘述:p:n是12的倍數。 q:n是4的倍數。 t:n是8的倍數。令P,Q,T分別表下列集合: P={ n | n( N,n適合p }={ 12 , 24 , 36 ,, 12k ,… }。 Q={ n | n(N,n適合q }={ 4 , 8 , 12 ,, 4k ,… }。 T={ n | n(N,n適合t }={ 8 , 16 , 24 ,…, 8k ,… }。試判別下列命題的真偽:(1) 若p,則q。 (2) 若p,則t。 (3) 若t,則q。
解:(1) 若p,則q: 若n是12的倍數,則n是4的倍數。 ? 若n( P,則n( Q。 ? P ( Q。 由於P ( Q是,故若p,則q亦真。
(2) 若
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