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反函数教案
反函数 教学目的
(1)使学生正确理解反函数的定义,加深对一一映射及其逆映射的认识;使学生初步掌握由原函数求其反函数的方法,为今后学习与反函数有关的知识打下基础.
(2)培养学生运用概念分析问题的能力,根据定义进行推理的逻辑思维能力.
教学过程
师:前面,我们讲了映射和函数.我们知道,函数是由定义域A、值域B以及A到B上的对应法则f三部分组成的一类特殊的映射.当f:A→B是集合A到集合B上的一一
一一映射,那么它的逆映射确定的是什么函数呢?这个函数与原来的函数又有什么关系呢?先请同学们考虑下面几个具体问题:
问题1 若y=f(x)=2x,x∈R,写出确定此函数的映射.
师:证明上述映射是一一映射.
所以原像不同,像也不同.
(2) 任取y∈B,令y=2x,则
所以B中每一个元素在A中都有原像.
综上所述,知f是A到B上的一一映射.
师:写出映射f的逆映射.
师:指出此逆映射确定的函数.
师:证明上述映射是一一映射.
生:(1) 任取x1、x2∈[-4,-1]=A.由于x1<0,x2<0,当x1≠x2时,
每一元素在A中都有原像.
综上所述,知 f是 A到 B上的一一映射.
师:写出映射f的逆映射.
师:指出此逆映射确定的函数.
师:从这两个问题的讨论可以看到,如果确定函数的映射是一一映射,那么这个一一映射的逆映射也确定一个函数.对原来的函数来讲,这是一个新的函数.研究这个新函数的存在条件,学会导出新函数的方法,指出确定新函数定义域、值域的方法,这些,就是本节课我们要讲的主要内容.
定义:如果定义域是A、值域是B的函数y=f(x)确定的映射
f:Ax→y=f(x)∈B
是一一映射,那么由这个映射的逆映射
f-1:By→x=f-1(y)∈A
确定的函数x=f-1(y)叫做函数y=f(x)的反函数.
所以,按照反函数的定义,定义在R上的函数y=2x,其反函数为定义在R上的
函数x=f-1(y)中,自变量用y表示,函数值用x表示,与习惯写法不符.我们规定,在求出x=f-1(y)后,要把反函数改写为习惯的形式y=f-1(x).
下面我们看一些例子.
[例1]已知下列函数都有反函数,试求出它们的反函数:
师:对应法则f-1已得到,即
f-1:y→x=(y-1)2.
f-1所确定的函数是什么?
x=(y-1)2 (y≥1).
故所求反函数为y=(x-1)2 (x≥1).
师:请解(2).
故所求反函数为
师:为什么第一个反函数的定义域是[1,∞),而不是R?而第二个反函数的定义域是(-∞,2)∪(2,∞).
生:略.
[例2] 若y=ax+b(a≠0)有反函数且它的反函数就是y=ax+b本身,求a、b应满足的条件.
生:由y= ax+b,得 ax=y-b.由 a≠ 0,知
于是,解得 a=1, b=0或 a=-1,b为任意实数.
师:什么样的一次函数,它的反函数正好是它本身?
直接求y=x、y=-x+b的反函数,反函数刚好分别是y=x、y=-x+b吗?
生:略.
[例3]判断下列函数是否有反函数.如有反函数,则求出它的反函数.
(1) y=x2-4x+3 (x∈R);
(2) y=x2-4x+3 (x∈(2,+∞)).
生:令y=0,由0=x2-4x+3,得两根为x1=1,x2=3.
这说明原像虽不同(x1≠x2),像却相同(y1=y2=0),故定义在R上的函数y=x2-4x+3确定的映射不是一一映射,因而它没有反函数.
又定义在x>2上的函数y=x2-4x+3=(x-2 )2-1,其值域为y>-1.
(1)任取x1、x2∈(2,+∞),当x1≠x2时,有x1-2≠x2-2.由于x1-2>0,x2-2>0,所有(x1-2)2≠(x2-2)2,推得
(x1-2)2-1≠(x2-2)2-1,
即y1≠y2.
(2)又任取 y∈(-1,+∞).令 y=(x-2)2-1,则
且 x∈(2,+∞).
综上所述,定义在x>2上的函数y=x2-4x+3确定的映射是一一映射.所以
师:(总结)从以上讨论,我们可以看出:
(1)函数y=f(x)有反函数的条件是:它所确定的映射必须是一一映射;
(2)若函数y=f(x)有反函数,视y为已知,x为未知,从y=f(x)中解出x=f-1(y),再换x为y, y为x,即得反函数y=f-1(x);
(3)函数y
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