反函数教案.doc

反函数　　教学目的 　　 (1)使学生正确理解反函数的定义，加深对一一映射及其逆映射的认识；使学生初步掌握由原函数求其反函数的方法，为今后学习与反函数有关的知识打下基础． 　　 (2)培养学生运用概念分析问题的能力，根据定义进行推理的逻辑思维能力． 　　教学过程 　　师：前面，我们讲了映射和函数．我们知道，函数是由定义域A、值域B以及A到B上的对应法则f三部分组成的一类特殊的映射．当f：A→B是集合A到集合B上的一一 　　 　　一一映射，那么它的逆映射确定的是什么函数呢？这个函数与原来的函数又有什么关系呢？先请同学们考虑下面几个具体问题： 　　问题1 若y=f(x)=2x，x∈R，写出确定此函数的映射． 　　 　　师：证明上述映射是一一映射． 　　 　　所以原像不同，像也不同． 　　 (2) 任取y∈B，令y=2x，则 　　 　　所以B中每一个元素在A中都有原像． 　　综上所述，知f是A到B上的一一映射． 　　师：写出映射f的逆映射． 　　 　　师：指出此逆映射确定的函数． 　　 　　 　　 　　师：证明上述映射是一一映射． 　　生：(1) 任取x1、x2∈[－4，－1]=A．由于x1＜0，x2＜0，当x1≠x2时， 　　 　　 　　每一元素在A中都有原像． 　　综上所述，知 f是 A到 B上的一一映射． 　　师：写出映射f的逆映射． 　　 　　师：指出此逆映射确定的函数． 　　 　　师：从这两个问题的讨论可以看到，如果确定函数的映射是一一映射，那么这个一一映射的逆映射也确定一个函数．对原来的函数来讲，这是一个新的函数．研究这个新函数的存在条件，学会导出新函数的方法，指出确定新函数定义域、值域的方法，这些，就是本节课我们要讲的主要内容． 　　定义：如果定义域是A、值域是B的函数y=f(x)确定的映射 　　 f：Ax→y=f(x)∈B 　　是一一映射，那么由这个映射的逆映射 　　 f-1：By→x=f-1(y)∈A 　　确定的函数x=f-1(y)叫做函数y=f(x)的反函数． 　　所以，按照反函数的定义，定义在R上的函数y=2x，其反函数为定义在R上的 　　 　　 　　函数x=f-1(y)中，自变量用y表示，函数值用x表示，与习惯写法不符．我们规定，在求出x=f-1(y)后，要把反函数改写为习惯的形式y=f-1(x)． 　　 　　 　　下面我们看一些例子． 　　 [例1]已知下列函数都有反函数，试求出它们的反函数： 　　 　　 　　师：对应法则f-1已得到，即 f-1：y→x=(y－1)2． 　　 f-1所确定的函数是什么？ 　　 x=(y－1)2 (y≥1)． 　　故所求反函数为y=(x－1)2 (x≥1)． 　　师：请解(2)． 　　 　　故所求反函数为 　　师：为什么第一个反函数的定义域是[1，∞)，而不是R？而第二个反函数的定义域是(－∞，2)∪(2，∞)． 　　生：略． 　　 [例2] 若y=ax＋b(a≠0)有反函数且它的反函数就是y=ax＋b本身，求a、b应满足的条件． 　　生：由y= ax＋b，得 ax=y－b．由 a≠ 0，知 　　 　　 　　于是，解得 a=1， b=0或 a=－1，b为任意实数． 　　师：什么样的一次函数，它的反函数正好是它本身？ 　　直接求y=x、y=－x＋b的反函数，反函数刚好分别是y=x、y=－x＋b吗？ 　　生：略． 　　 [例3]判断下列函数是否有反函数．如有反函数，则求出它的反函数． 　　 (1) y=x2－4x＋3 (x∈R)； 　　 (2) y=x2－4x＋3 (x∈(2，＋∞))． 　　生：令y=0，由0=x2－4x＋3，得两根为x1=1，x2=3． 　　这说明原像虽不同(x1≠x2)，像却相同(y1=y2=0)，故定义在R上的函数y=x2－4x＋3确定的映射不是一一映射，因而它没有反函数． 　　又定义在x＞2上的函数y=x2－4x＋3=(x－2 )2－1，其值域为y＞－1． 　　 (1)任取x1、x2∈(2，＋∞)，当x1≠x2时，有x1－2≠x2－2．由于x1－2＞0，x2－2＞0，所有(x1－2)2≠(x2－2)2，推得 　　 (x1－2)2－1≠(x2－2)2－1， 　　即y1≠y2． 　　 (2)又任取 y∈(－1，＋∞)．令 y=(x－2)2－1，则 　　 　　 　　且 x∈(2，＋∞)． 　　综上所述，定义在x＞2上的函数y=x2－4x＋3确定的映射是一一映射．所以 　　 　　师：(总结)从以上讨论，我们可以看出： 　　 (1)函数y=f(x)有反函数的条件是：它所确定的映射必须是一一映射； 　　 (2)若函数y=f(x)有反函数，视y为已知，x为未知，从y=f(x)中解出x=f-1(y)，再换x为y， y为x，即得反函数y=f-1(x)； 　　 (3)函数y