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学习辅导三
学习辅导三
集合与映射
关系与映射
学习目标
理解笛卡尔积、二元关系、运算关系等概念,理解映射、满射、单射、双射等概念,理解有关定理,掌握有关定理的证明方法和有关的例题的处理方法。
内容提要
(一) 二元关系
笛卡尔积: A×B ={(a,b)|a∈A, b∈B},注意(a,b)为有次序的元素偶.
从集合A到B中的关系: A×B中的每一子集R称为从A到B中的关系. 若(a,b)∈R,则称a与b是R-相关的,记作aRb.
关系R的定义域: Dom(R)={a|存在b∈B,使aRb}(A).
关系R的值域: Ran(R)={ b|存在a∈A,使aRb}(B).
关系R的象集: R()={b|存在a∈,使得aRb}(B). 其中集合A.
关系R的逆: 设RA×B,则B×A的子集={(b,a)|aRb}称为R的逆.
关系的复合: SR ={(a,c)|存在b∈B,使得aRb,bSc},其中RA×B,SB×C.
设A,B,C,D为集合;RA×B,SB×C,TC×D,则有关系的逆与复合运算满足:
(1) =R;
(2) =;
(3) T(SR)=(TS)R.
(二) 映射
映射: F∶X→Y,即x∈X,有唯一y∈Y,使得xFy.
映射F的象: y=F(x),即对于每一x∈X,使得xFy成立的y.
映射F的原象: ,即对于y∈Y,使得xFy成立的x(x∈X).
映射的复合: (GF)(x)=G(F(x)),其中F∶X→Y,G∶Y→Z.
满射: 若f(X)=Y,则称f 为从X到Y上的满射.
单射: 若,∈X, ≠,有f()≠f(),则称f 为从X到Y上的单射.
双射: 若f 即是单射又是满射的.
逆映射: 由y=f(x)确定的从Y到X的映射:Y→X,其中f∶X→Y是双射.
结论1: 设f∶X→Y,A,BY,则逆映射满足
(1)(A∪B)=(A)∪(B);
(2)(A∩B)=(A)∩(B);
(3)(A-B)=(A)-(B).
结论2: 设f∶X→Y,
(1) 若f 是单射,则对于X的任意子集A,有(f(A))=A.
(2) 若f 是满射,则对于Y的任意子集B,有f((B))=B.
(三) 运算
运算: 映射f: A×B→C是一个从A×B到C 中的运算.特别的,映射f: A×A→A是A上的一个运算,并且称运算f 在A上封闭.
若f(a,b)=f(b,a), 则称运算f 满足交换律;若f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c)), 则称运算f 满足结合律.
f 的右零元e: a∈A, 使f(a,e)= a;
f 的左零元e: a∈A, 使f(e,a)= a;
f 的零元e: 既是f 的左零元,又是f 的右零元.
a 的右逆元: 对于a∈A,若∈A,使f(a, )= e;
a 的左逆元: 对于a∈A,若∈A,使f(,a)= e;
a 的逆元: 既是a 的左逆元,又是a 的右逆元.
重难点解析
学习本节内容时应该理解笛卡尔积、二元关系、运算关系等概念,理解映射、满射、单射、双射等概念,掌握有关定理的证明方法和有关的例题的处理方法。
1.笛卡尔积是一种集合的二元运算,是本节最基本的概念之一. 集合A与B的笛卡尔积AB = {(a , b)│aA , bB }是一个集合,这个集合的元素都是一些有序对,这些有序对中的第一个成员都是取自集合A,第二个成员都是取自集合B,不能随意取出写之.
集合A,B的笛卡尔积与这两个集合的次序有关. 一般地,若A与B非空,只要A≠B,则有A×B≠B×A. 也就是说交换律不成立.
例如,集合A={a, b, c},B={1, 2},则
AB= {a, b, c}{1, 2} = {(a , 1),(a , 2),(b , 1),(b , 2),(c , 1),(c , 2)}
AB= {1, 2}{a, b, c} = {(1 , a),(1 , b),(1 , c),(2 , a),(2 , b),(2 , c)}
所以A×B≠B×A.
2. 二元关系R是一个有序对组成的集合. 因此,一个二元关系是一个集合,可以用集合形式表示. 但是任意一个集合
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