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学习辅导三 集合与映射 关系与映射 学习目标 理解笛卡尔积、二元关系、运算关系等概念，理解映射、满射、单射、双射等概念，理解有关定理，掌握有关定理的证明方法和有关的例题的处理方法。 内容提要 (一) 二元关系 笛卡尔积： A×B ={(a,b)｜a∈A, b∈B}，注意(a,b)为有次序的元素偶. 从集合A到B中的关系： A×B中的每一子集R称为从A到B中的关系. 若(a,b)∈R，则称a与b是R-相关的，记作aRb. 关系R的定义域： Dom(R)={a｜存在b∈B，使aRb}(A). 关系R的值域： Ran(R)={ b｜存在a∈A，使aRb}(B). 关系R的象集： R()={b｜存在a∈，使得aRb}(B). 其中集合A. 关系R的逆： 设RA×B，则B×A的子集={(b,a)｜aRb}称为R的逆. 关系的复合: SR ={(a,c)｜存在b∈B，使得aRb，bSc}，其中RA×B，SB×C. 设A，B，C，D为集合；RA×B，SB×C，TC×D，则有关系的逆与复合运算满足： (1) =R； (2) =； (3) T(SR)=(TS)R. (二) 映射 映射： F∶X→Y，即x∈X，有唯一y∈Y，使得xFy. 映射F的象： y=F(x)，即对于每一x∈X，使得xFy成立的y. 映射F的原象： ，即对于y∈Y，使得xFy成立的x(x∈X). 映射的复合： (GF)(x)=G(F(x))，其中F∶X→Y，G∶Y→Z.  满射： 若f(X)=Y，则称f 为从X到Y上的满射. 单射： 若,∈X, ≠，有f()≠f()，则称f 为从X到Y上的单射. 双射： 若f 即是单射又是满射的. 逆映射： 由y=f(x)确定的从Y到X的映射：Y→X，其中f∶X→Y是双射. 结论1： 设f∶X→Y，A，BY，则逆映射满足 (1)(A∪B)=(A)∪(B)； (2)(A∩B)=(A)∩(B)； (3)(A-B)=(A)-(B). 结论2： 设f∶X→Y， (1) 若f 是单射，则对于X的任意子集A，有(f(A))=A. (2) 若f 是满射，则对于Y的任意子集B，有f((B))=B. (三) 运算 运算： 映射f: A×B→C是一个从A×B到C 中的运算.特别的，映射f: A×A→A是A上的一个运算，并且称运算f 在A上封闭. 若f(a,b)=f(b,a), 则称运算f 满足交换律；若f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c)), 则称运算f 满足结合律. f 的右零元e： a∈A, 使f(a,e)= a； f 的左零元e： a∈A, 使f(e,a)= a； f 的零元e： 既是f 的左零元，又是f 的右零元. a 的右逆元： 对于a∈A，若∈A，使f(a, )= e； a 的左逆元： 对于a∈A，若∈A，使f(，a)= e； a 的逆元： 既是a 的左逆元，又是a 的右逆元. 重难点解析 学习本节内容时应该理解笛卡尔积、二元关系、运算关系等概念，理解映射、满射、单射、双射等概念，掌握有关定理的证明方法和有关的例题的处理方法。 1．笛卡尔积是一种集合的二元运算，是本节最基本的概念之一. 集合A与B的笛卡尔积AB = {(a , b)│aA , bB }是一个集合，这个集合的元素都是一些有序对，这些有序对中的第一个成员都是取自集合A，第二个成员都是取自集合B，不能随意取出写之. 集合A，B的笛卡尔积与这两个集合的次序有关. 一般地，若A与B非空，只要A≠B，则有A×B≠B×A. 也就是说交换律不成立. 例如，集合A={a, b, c}，B={1, 2}，则 AB= {a, b, c}{1, 2} = {(a , 1)，(a , 2)，(b , 1)，(b , 2)，(c , 1)，(c , 2)} AB= {1, 2}{a, b, c} = {(1 , a)，(1 , b)，(1 , c)，(2 , a)，(2 , b)，(2 , c)} 所以A×B≠B×A. 2. 二元关系R是一个有序对组成的集合. 因此，一个二元关系是一个集合，可以用集合形式表示. 但是任意一个集合