群的同态.doc

第四节 变换群 基本概念：变换群、置换群的定义,置换的表示 重点、难点：Cayley定理，置换的运算与性质. 本节给出一种具体的群，这种群中的元素不是通常所记的数，也未必交换，另外这种群是非常重要的，它对众多的群的本质给出了一个模板. 变换群 设是一个非空集合，的一个变换即为到的一个映射： 为了方便起见，将记为. 注意：（仅为一个符号）仅表示在变换下的像，而不是的次方. 例1 . 的变换有个，即为 其中为一一变换. 是一个非空集合,, ，.若在集合上定义运算为映射的合成，即 定义 则有： 定理2.4.1 设为一个非空集合，则 (1).关于变换的乘法是一个幺半群; (2). 关于变换的乘法是群. 证 (1) 容易验证封闭性，结合律与单位元的存在性 (2) (Ⅰ)封闭性:为一一变换，则也为一一变换； 单性:对于 故为单射. 满射:,又由于是满射，则 ，于是 从而为一一变换. (Ⅱ)结合律显然成立.(对一般的变换均成立) (Ⅲ)恒等变换为的单位元， 显然，为一一映射，i.e., 则有 ; 故 (Ⅳ)存在逆映射，由§ 1.5可知也为一一映射，即为且有，即为的逆元. 由Th.2.4.1知 是一个幺半群，一般地不一定构成群.如例1中，无逆元，即,那么的一个子集构成群的必要条件是什么呢？ 定理2.4.2 假定的集合的若干变换所作的集合(i.e.),并且，若对于映射的合成作成一个群，那么只包含的一一变换.(i.e. )(设为集合, 且,若关于映射的合成构成一个群，则). 证 由为群知，,s.t. 由Th.1.5.1 可知, ,即有. 定义2.4.1集合的若干一一变换关于映射的合成所规定的乘法构成的一个群成为的一个变换群(即的子群称为的变换群.) 注: 就为的一个变换群,有时也称为一一变换群.(即一个变换群即为的一个子群.) 变换群一般情况下不是交换群.(see书上的例子). 对于一个集合,除外还有其他的变换群,如 例2 假设为平面上的所有点之集,那么平面的一个绕一个定点O的旋转可以看成的一个一一变换:设O为原点,那么经过一个角的旋转可以解析地表为映射其中 设为包含所有绕一个定点旋转的集合, 则为一个变换群: (Ⅰ)封闭性: (Ⅱ)结合律:显然成立; (Ⅲ)单位元:的单位元; (Ⅳ)逆元: 注 此例子中的显然不包括所有一一变换,即,如反射变换不在中. 定理2.4.3 (Cayley定理) 何一个群均同构于一个变换群. 证 设为一个群,令 则易知为的一变换,记 作 则易知①为满射; ②为单射: 若 ③为同态: 即有 故为到之间的一个同构.由定理2.3.1知为群.且. 注 从上述定理的证明中可以得知,该命题对于幺半群也成立,即有: 任何一个幺半群均同构与一个变换幺半群.( 的子幺半群称为的一个变换幺半群) 该命题亦可如下证明: 即:不利用Th.2.3.1,可以直接证明.称为的左乘变换群或左正则表示群. 该命题亦可利用右乘变换来证明: ,其中 称为的右乘变换群或右正则表示群. 二 置换群(1829年E.Calois引入的) 下面讨论前面情形的特殊情况─有限的情形.取 定义2.4.2 (1)一个包含个元素的有限集合的一个一一变换称为(次)置换.一般用表示. (2) 一个包含个元素的有限集合的所有置换构成的群称为次对称群(体现对称性,全体对称变换构成的群)用表示. (3)一个有限集合的若干个置换作成的一个群叫做一个置换群.(i.e.的一个子群). 由对称群的定义和排列公式即得: 定理 2.4.4 次对称群的阶为 由定理2.4.3可得. 定理2.4.5 每一个有限群都与一个置换群同构. 三 置换的表示 由上面的定理可得,每个有限群都可以在置换群里找到具体的例子,那么置换群是否比较容易计算呢?下面我们来看看置换群中的元素形式.设. 第一种表示符号 一个置换于是可以由 来决定.于是将表示为(略去字母而只记下标) 注:该表示方法中,与第一行个数字的次序无关,例如 一般情况下,第一行都取的次序. 例3 ,则且中任一元素都有六不同的表示方法. 如,则 但一般的,用来表示. . 且不是交换群,如 注:这是第一个非交换群的有限群的例子.事实上,最小的非交换群的阶为6.即一个有的非交换群的阶6. 置换的第二种表示方法(循环置换的记法) 先看两个特殊的置换,得到一个公式:, . 注意为置换,则 定义2.4.3 假设在次置换下, 其它的保持不动,i.e. 则称是一个循环置换(或称项循环置换).此时,记 . 注1 1-循环置换即为恒等置换; 注2 2-循环置换也称为对换; 注3 并非所