高代系列辅导之五.doc

高等代数专题研究系列辅导之五 (同态与同构 中央电大师范部 冯泰 1. 同态与同构概念 设两个代数体系{A，(}与{B，(}，如果存在映射(：A(B，使得(a,b(A,都有 ((a(b)=((a)(((b) 则称(是A到B的同态映射，并称{A，(}与{B，(}同态． 若(是单映射，则称(是A到B的单同态映射，并称{A，(}与{B，(}单同态． 若(是满映射，则称(是A到B的满同态映射，并称{A，(}与{B，(}满同态，并记{A，(}～{B，(}． 若(是双射，则称(是A到B的同构映射，并称{A，(}与{B，(}同构，并记{A，(}≌{B，(}． 若{A，(}与{B，(}是两个群(或子群、环、域等)，相应地有群(或子群、环、域等)同态、单同态、满同态、同构等概念， 注意：(1) 同态映射，将A上的元素变成B中的元素，还要将A上的运算(变成B上的运算(． (2) 若是两个群(或环域等)，除满足(1)的条件外，还要满足将特殊元素(如零元素、负元、恒等元素、逆元等)相应地变成特殊元素(零元素、负元、恒等元素、逆元等)． 2. 举例 例1 代数体系(N，＋)和(N，×)，它们各自满足结合律，存在恒等元素． 令(x(N，((x)＝2x(可以是任何一个指数函数)， 有((x,y(N，((x+y)=2x+y=2x×2y,且 运算＋的零元(是恒等元素)是0，而20＝1是×的恒等元素． 映射((x)＝2x是单射，故(N，＋)和(N，×)是单同态． 例2 {R，＋}和{R，＋}是群． (x(R，令((x)=2x(R，故(是从R到R的单映射． (y,z(R，((y+z)=2(y+z)=2y+2z=((y)+((z) 前者的零元素是0，((0)=20=0，即后者的零元素仍然是0． (x(R，映射(将x变为2x，而x的负元是－x，二2x的负元正是－2x＝((－x)． ((x)=2x是{R，＋}到自己的映射，称其为自同态映射，{R，＋}是自同态． 例3 设(Z，＋)与{Zn，＋n}，已知它们是群． (x(Z，令((x)=x(模n同余，x除n的余数，如n=8，((5)=((45)=((－27)=5) 显然(是从Z到Zn的映射，(是满射． (x,y(Z，((x+y)=(x+y)= ((x)+n((y) 满足结合律．而且{Z，＋}的零元素为0,((0)=(0；任给x在Z上关于运算＋的负元为－x，不妨设x0，而((－x)=((－n＋x)=n－((x)正是((x)的负元．即Z中的元素x经过(变为， 而－x是x的负元，－x经过(变为n－((x)，它是的负元． 总之，((x)=x将Z变为Zn，将零元变为零元、负元变为负元． ((x)=x是满同态映射，{Z，＋}和{Zn，＋n}是满同态． 例4 设{R＋，×}和{R，＋}，容易验证它们都是群． (x(R＋，令((x)=，可知((x)=是从R＋到R的双射． (x，y(R＋，令((x×y)=((x)+((y)． 又1是R＋上运算×的恒等元素，((1)=是R上关于运算＋的恒等元素． 任给x(R+，关于运算×的逆元是，(()它正是x的象在R中的逆元． 总之，((x)=将R＋变为R；将恒等元素变为恒等元素，将逆元变为逆元．因为(是双射，故(是同构映射，{R＋，×}与{R，＋}同构，记作{R＋，×}≌{R，＋}． 例5 设，C＝{} 可以验证，{M，(，(}(其中(，(分别是矩阵的加法和乘法运算)和{C，＋，×}(其中＋，×分别是复数的加法和乘法运算)是群． (x(M，令((x)=,其中 不难验证，(是M到C的一个双射，是同构映射，{M，(，(}≌{C，＋，×}． 2