§6-8线性空间的同构设是线性空间v的一组基，在这组基下，v中的.doc

§6-8线性空间的同构 设是线性空间V的一组基，在这组基下，V中的向量都有确定的坐标，而向量的坐标可以看成Pn的元素。 这样 向量与坐标（V与Pn）之间建立了1-1对应 定义11：数域P上的两个向量空间V与W称为同构的，如果V到W有一个1-1的映上的映射，具有以下性质： 1．； 2. ，其中是V中任意向量，是P中的任意数，这样的映射称为同构映射 。 结论：数域P上的任一n维向量空间都与Pn同构。 同构映射的基本性质： 1．； 2. ； 3．V中的向量组线性相关的充分必要条件是，它们的象线性相关； 4．设V1是V的一个线性子空间，那么，V1在下的象集合 是的子空间，并且V1与的维数相同。 5．同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射。 6.数域P上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们的维数相同。 同构作为线性空间之间的一种关系，具有反身性、对称性、传递性。 数域P上的任意两个n维线性空间都同构。 如果数域P上的两个线性空间V与W之间可以建立同构映射，那么就称线性空间V与W同构，并且记作 定理12：数域P上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数。 例1.证明复数域C作为实数域R上的向量空间，与V2同构。 例2；设是线性空间V到W的一个同构映射，U是V的一个子空间，证明：是W的一个子空间。 例3：证明：线性空间F[x]可以与它的一个真子空间同构。 V= F[x]，W= 补：矩阵的秩与线性方程组的解空间 矩阵，行向量、行空间，列向量、列空间 一个矩阵的行空间与列空间作为不同线性空间的子空间，具有相同的维数，等于矩阵的秩。 齐次线性方程组AX=0，当秩（A）=r时，解空间的维数（秩）为n-r。解空间=基础解系 例4：Pn的任意一个子空间都是某一含n个末知量的齐次线性方程组的解空间。 证明：设V是Pn的任意一个子空间，维（V）=r, 令V=L() 其中，，…，， 构造线性方程组： 其解向量构成n-r维线性空间，设由下面n-r个向量组成 ，显然 V是线性方程组的解空。 作业： P275- 11，23 给出证明