§9-3同构定义8实数域r上的欧氏空间v与w称为同构的，如果由v到.doc

§9-3 同 构 定义8：实数域R上的欧氏空间V与W称为同构的，如果由V到W有一个1-1的映上映射，对任意，适合 1），2），3）； 这样的映射，称为V到W的同构映射。 显然：如果是欧氏空间V到W的同构映射，则也是线性空间V到W的同构映射。同构的欧氏空间具有相同的维数。 设V是一个n维欧氏空间，是V的一组标准正交基，则V的向量都可表示成 。 令，则是V到Rn的一个1-1的映射且是同构映射。 同构作为欧氏空间之间的关系具有反身性、对称性、传递性。 由于每个欧氏空间都与Rn同构，从任意两个欧氏空间都是同构的。 定理3：两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们的维数相同。 欧氏空间的结构完全由它的系数决定。 作业：P395-10、11 §9-4 正 交 变 换 定义9：欧氏空间V的线性变换A称为正交变换，如果它保持向量的内积不变，对于任意的 都有 。 定理4：设A是欧氏空间V的一个线性变换，于是下面命题是等价的： 1.A是正交变换； 2.A保持向量的长度不变，即对于α∈V，恒有 |Aα|=|α|； 3.如果是标准正交基，则也是标准正交基； 4.A在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。 给予证明 正交矩阵是可逆的正交变换是可逆的 结论：正交变换的逆变换是正交变换； 两个正交变换的乘积也是正交变换。 练习：设V是n维欧氏空间，是一个非零向量， 定义：，则A是V的一个正交变换，且A2=E 如果A是正交矩阵，就有 ，从而有 |A|=±1， 行列式值为1 的正交变换称为旋转，或称为第一类的； 行列式值为-1的正交变换称为第二类的。 在欧氏空间中任取一组标准正交基，定义线性变换 A就是第二类正交变换。 例：将V2的每个向量旋转一个角φ的正交变换： 关于任意标准正交基下的矩阵是 ，或者取φ=，矩阵有形状。 V3的任意正交变换关于某一正交基下的矩阵类型有： ，， ，及。 P396-16、17、18、23