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§9-3同构定义8实数域r上的欧氏空间v与w称为同构的,如果由v到
§9-3 同 构
定义8:实数域R上的欧氏空间V与W称为同构的,如果由V到W有一个1-1的映上映射,对任意,适合
1),2),3);
这样的映射,称为V到W的同构映射。
显然:如果是欧氏空间V到W的同构映射,则也是线性空间V到W的同构映射。同构的欧氏空间具有相同的维数。
设V是一个n维欧氏空间,是V的一组标准正交基,则V的向量都可表示成 。
令,则是V到Rn的一个1-1的映射且是同构映射。
同构作为欧氏空间之间的关系具有反身性、对称性、传递性。
由于每个欧氏空间都与Rn同构,从任意两个欧氏空间都是同构的。
定理3:两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们的维数相同。
欧氏空间的结构完全由它的系数决定。
作业:P395-10、11
§9-4 正 交 变 换
定义9:欧氏空间V的线性变换A称为正交变换,如果它保持向量的内积不变,对于任意的 都有 。
定理4:设A是欧氏空间V的一个线性变换,于是下面命题是等价的:
1.A是正交变换;
2.A保持向量的长度不变,即对于α∈V,恒有 |Aα|=|α|;
3.如果是标准正交基,则也是标准正交基;
4.A在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。
给予证明
正交矩阵是可逆的正交变换是可逆的
结论:正交变换的逆变换是正交变换;
两个正交变换的乘积也是正交变换。
练习:设V是n维欧氏空间,是一个非零向量,
定义:,则A是V的一个正交变换,且A2=E
如果A是正交矩阵,就有
,从而有 |A|=±1,
行列式值为1 的正交变换称为旋转,或称为第一类的;
行列式值为-1的正交变换称为第二类的。
在欧氏空间中任取一组标准正交基,定义线性变换
A就是第二类正交变换。
例:将V2的每个向量旋转一个角φ的正交变换:
关于任意标准正交基下的矩阵是
,或者取φ=,矩阵有形状。
V3的任意正交变换关于某一正交基下的矩阵类型有:
,,
,及。
P396-16、17、18、23
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