第五章向量空间.ppt.ppt

第五章 向量空间 5.1 向量空间的定义 5.2 向量的线性相关性 5.3 基维数和坐标 5.4 子空间 5.5 向量空间的同构 例4 设Mm?n(F)是数域F上全体m?n矩阵的集合，对任意的 A,B?Mm?n(F) ，A+B ? Mm?n(F), 对任意的k? F，kA ? Mm?n(F). 并且对任意的mXn矩阵A,B,C及任意的F中的数a，b，有 并且，对任意的? ,? ,? ?V，k,m ?R，有 第六章 线性方程组 6.1 消元解法 6.3 齐次线性方程组解的结构 6.4 一般 线性方程组解结构 6.5 秩与线性相关性 6.6 特征向量与矩阵的对角化 第七章 线性变换 7.1 线性变换的定义及性质 7.2 线性变换的运算 7.3 线性变换的矩阵 7.4 不变子空间 7.5 线性变换的本征值和本征向量 第八章 欧氏空间 8.1 欧氏空间的定义及基本性质 8.2 度量矩阵与正交基 8.3 正交变换与对称变换 8.4 子空间与正交性 8.5 对称矩阵的标准形 8.3 正交变换与对称变换 四. 正交补与向量的正射影 　　设W是欧氏空间V的一个非空子集,??是V的一个向量. 如果?与 W的每一个向量正交, 则称 ?与 W正交, 记作 ?, W =0. 令 W?={??V |?, W=0} 则W?是V的一个子空间. 若W是V的一个子空间, 称W?为W的正交补. 　　定理 8.2.4 设W是V的一个有限维子空间, 那么V=W?W?. 因而V的每一向量?可以唯一地写成?=?+?, 其中??W,?, W=0. 称?为?在子空间W上的正射影. 　　定理 8.2.5 设W是V的一个有限维子空间, ?是V的任意向量, ?是?在W上的正射影, 那么对W中任意向量???, 都有 |???||?-?‘|. 五. 标准正交基之间的过渡矩阵 　　设U=(uij)是从标准正交基{?1, ?2,…, ?n}到标准正交基{?1, ?2,…, ?n}的过渡矩阵. 则 于是:U U=UU =I.我们把满足U U=UU =I的实矩阵U称为正交矩阵. 　　定理 8.2.6 在欧氏空间中从一个标准正交基到另一个标准正交基的过渡矩阵是一个正交矩阵. 六. 欧氏空间的同构 　　定义 3 设V与V 是两个欧氏空间, 如果 　　(i) 作为实数域上的向量空间, 存在V 到V 的一个同构影射 f: V ?V. 　　(ii) 对任意?,??V, 都有: ? , ?=f(?), f(?). 则称V与V 是同构的. 　　定理 8.2.6 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是它们的维数相等. 　　推论 8.2.6 任意n维欧氏空间都与Rn同构. 定义1 欧氏空间V的线性变换?称为正 交变换, 如果它保持任意两个向量的内积不 变, 即对任意?, ??V，有 ?? (?), ? (?)?＝??, ??. 一 、 正交变换的定义及性质 例1 在欧氏空间V2 中， ?是把V2 中任意向量 都沿逆时针方向旋转θ 角的变换， 则?是正交变换. 例2 在欧氏空间V3 中,设M是过原点的一个 平面,?是V3 中任意向量 ?关于M的镜面反射， 则? 是正交变换. 定理8.3.1 设?是n(?0)维欧氏空间V的一个线性变 换, 则下面四个命题等价. (i) ?是正交变换； (ii) 如果{?1, ?2, …, ?n}是规范正交基, 那么 {? (?1), ? (?2), …, ? (?n)}也是规范正交基； (iii) ? 在任一个规范正交基下的矩阵是正交矩阵； (iv) 任意的??V, |? (?)|＝|? |. 证明： 设{?1, ?2, …, ?n}是一规范正交基, 即 ??i, ?j?＝ 因为?是正交变换, 那么 〈? (?i), ? (?j)〉＝ ??i, ?j?＝ 因此，{? (?1), ? (?2), …, ? (?n)}是规范正交基. (i)?(ii) 即 (i) ?是正交变换； (ii) 如果{?1, ?2, …, ?n}是规范正交 基, 那么 {? (?1), ? (?2), …, ? (?n)}也是规范正交基.