§7.1线性变换的定义和性质.doc

§7.1 线性变换的定义和性质 教学目的 本节要求掌握线性变换的定义及线性变换的性质 教学难点 线性变换的性质 教学重点 线性变换的定义及线性变换的性质 　　教　学　过　程 备　注 教学引入 例1 在向量空间F[x]中，D (f (x))＝f ((x)表示求多项式f (x)的导数. 显然D是F [x]的一个变换，并且对任意f (x), g(x) (F [x], k (F. 我们还有 D [f (x)＋g (x)]＝(f (x)＋g (x))(＝f ((x)＋g((x)＝D (f (x))＋D (g (x)); D(k f (x))＝k(D(f(x))). 例2 在向量空间V2中，对任意((V2，令((()表示将(按逆时针方向旋转(角度后所得的向量. 那么(是V2到V2的一个映射. 并且，对任意(, ((V2，k(R将(与(的和(＋(按逆时针方向旋转(角度所得的向量就是将(, (分别按逆时针方向旋转(角度所得的向量的和，将(的k倍k(按逆时针方向旋转(角度所得的向量就是将(按逆时针方向旋转(角度所得向量的k倍，亦即 (((＋()＝((()＋(((); ((k()＝k(( (). 例1、例2虽然是不同的向量空间中的两个变换，但它们有共同的性质，那就是它们都满足：空间中任意两个向量的和的象等于这两个向量在变换下的象的和；一个向量的数量倍的象等于这个向量的象的数量倍. 具有这种性质的变换就是线性变换. 教学内容 线性变换的概念 1．线性变换的定义 定义1 设(是F上向量空间V的一个变换. 若对于V中任意向量( , (及F中任意数k，都有 ( ((＋()＝( (() ＋( ((); ( (k()＝k ( ((). 则称(是V的一个线性变换. 2．线性变换定义的理解 例3 设V是数域F上的一个向量空间，k是F中的一个数，定义V的变换(为 (：(k( ((((V). 用定义可以验证，(是V的一个线性变换，(叫做数量变换(或位似). 当k＝1时，称(为恒等变换；当k＝0时，称(为零变换，向量空间V的恒等变换、零变换分别记作(V，(V. 如果不产生混淆的话，那么二者分别简记作(，(. 例4 设{(1, (2, (3}是V3的标准基，对V3的任一向量(＝a1(1＋a2(2＋a3(3，规定( (()＝a1(1＋a2(2＋0(2. 那么,容易验证映射(是V3的线性变换，(的几何意义是把V3的向量(投影到由(1, (2所决定的OXY平面上去. 例5 在向量空间C [a, b]中. 定义 ( (f (x))＝，(f (x) (C [a, b]. 可以验证，(是C [a,b]的线性变换. 例6 在Mn (F)中. 取定一个矩阵A. 定义Mn (F)的变换(为 ( (X)＝AX , (X ( Mn (F). 易证(是Mn (F)的一个线性变换. 若定义(为 ( (X)＝X＋A，(X( Mn (F). (是Mn (F)的变换，但是对任意的X, Y( Mn (F), ( (X＋Y)＝(X＋Y)＋A. 而 ( (X) ＋( (Y)＝(X＋A)＋(Y＋A)＝X＋Y＋2A. 当A(0时，( (X＋Y) (( (X)＋( (Y). 因而(不是线性变换. 当A＝0时，(是线性变换. 线性变换的性质 定理7.1.1 设V是F上的一个向量空间，(是V的一个线性变换. (i) ( (0)＝0. 其中0是V的零向量. (ii) 设( , (1，… ，(s是V的向量，则 ( ((1＋(2＋…＋(s)＝( ((1) ＋( ((2) ＋… ＋( ((s)； (iii) ( , (1，… ，(s是V的向量. 若 (＝k1(1＋k2(2＋…＋ks(s， 则 ( (()＝k1( ((1) ＋k2( ((2) ＋… ＋ks( ((s). (iv) 若{(1,(2,…, (s}是V的线性相关的向量组，则{(((1), ( ((2), …, ( ((s) }也是V的线性相关的向量组. 证 (i) 因为( (0)＝( (0(()＝0( (()＝0. (ii) 用数学归纳法易证. (iii) 由定义 ( (()＝( (k1(1＋k2(2＋…＋ks(s) ＝( (k1(1)＋( (k2(2)＋…＋( (ks(s) ＝k1( ((1)＋k2 ( ((2)＋…＋ks( ((s). (iv) 由假设，存在不全为零的数k1, k2, …, ks使 k1(1＋k2(2＋…＋ks(s＝0. 于是，由(iii)得 k1 ( ((1)＋k2 ( ((2)＋…＋ks ( ((s)＝( (0)＝0. 因此，( ((1), ( ((2), …, ( ((s)线性相关. 定理7.1.2 设{(1, (2, …,