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集合之關係
姓名:林卓笙 Lam Cheok Sang
學號:H-A0-1850-1
學院:教育學院
學系:數學系
幾何筆記
集合之關係:
例一:大學內,設X={所有男生}
Y={所有女生}
關係:互相認識
卡氏積:X*Y={(a,b)(??(X(Y)(a(X, b(Y}
有序對
M1
.
10女 .
.
.
M10
B1((((((((((((((B10
10男
如果a認識b,則把有序對(a,b)放入一個集合R(X*Y
情況一:男方與女方互不相識。R=(
情況二:男方與女方互相認識。R=X*Y
情況三:每個男仕只有一位女朋友,同樣,每位女仕只有一位男朋友。
則R={(B1,Mi1),(B2,Mi2),…………,(B10,Mi10)}
且i1,i2,……….,i10是1,………..,10的排列。
例子:(B1,M10),(B2,M9),(B3,M7)…………
此外,有更多的情況:
R={(男2,女1),(男2,女2)}
集合關係定義:設X,Y為任意集合,一個由X到Y的﹝二元﹞關係,是指X*Y的一個子集R。x,y)(R(x+y=5
則R={5,0},(2,3),(4,1),(3,2)}
(1,4)(R。原因(1,4)(X*Y
公理 A=B((x(x(A(x(B)
(A(B)(C=(A(C)((B(C)
x((A(B)(C((x(A(B)((x(C)
([(x(A)((x(B)]((x(C)
. .
. .
. .
(x((A(C)((B(C)
例四:Z整數集合
分為n組
例n=2,如奇偶兩組﹝I﹞;或者非負,負兩組﹝II﹞
定義一個關係R(Z*Z如下:
(x,y)(R(整數x,y在同一組中
在情況﹝I﹞下,RI包含有序對(1,1),(1,3),(0,2),(2,4)
在情況﹝II﹞下,RII包含有序對(-1,-2)………
引入﹝III﹞將Z分為n組如下:
按照x被n除後的餘數({0,1,…,n-1}
例n=5,RIII包含(5,10),(6,1),(7,2),(9,-1)
(a,b)(RIII((b-a(能被n整除
(被除數)=(商)(除數)+餘數
定義:設R(X*Y的一個關係,domR={x(X((y(Y(x,y)(R}
ranR={y(Y((x(X(x,y)(R},分別稱為R的定義域,值域。
證:﹝1﹞當X=Y,簡稱R(X*Y為在X上的一個﹝二元﹞關係。
﹝2﹞關係S,R(X*Y是不相等,當且僅當S(R﹝作為X*4的子集﹞
定義:設R(X*Y,S(Y*Z為兩個關係。定義一個由Y到X的一個關係;記為R-1:(y,x)(R-1((x,y)(R。
定義一個由X至Z的一個關係,記S。R((X*Z)
(x,z)(S。R((y(Y((x,y)(R((y,z)(S)
稱R-1為R的逆,S。R為S與R的複合。
回到例二:x={1,2,3,4,5}
y={0,1,2,3}
R={(2,3),(3,2),(4,1),(5,0)}
R-1={(3,2),(2,3),(1,4),(0,5)}
引入S(Y*X﹝此時Z=X﹞
(z) (z)
(y,x)(S(y+x=4 ((x,y)(R(x+y=5)
S={(1,3),(2,2),(0,4),(3,1)}
R S R
X Y X Y
問題:﹝i﹞S。R(X*X?
﹝ii﹞R。S(Y*Y?
(2,1)(S。R={(2,1) , (3,2) , (4,3) , (5,4)}
理由:(2,3)(R (3,2) (R (4,1) (R (5,0) (R
(3,1)(R (2,2) (R (1,3) (R (0,4) (R
(a,b)(S。R(a-b=1
(a,b)(R。S(b-a=1
(a,b)( R。S((x(X((a,x)(S((x,b)(R)
((x(X(a+x=4(x+b=5)
除去x b-a=5-4=1
R。S={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)}
定義:設R為X上的二元關係,﹝R(X*X﹞
稱R為自反性如果對於所有x(X有(x,x)(R;
反自反性如果對於所有x(X有(x,x)(R;
對稱性如果對於所有x(X有(x,y)(R((y,x)(R;
反對稱性如果對於所有x,y(X有(x,y)(R((y,x) (R(x=y;
傳遞性如果對於所有x,y,z(X有(x,y)(R((y,z) (R((x,z) (R;
等價關係:如果R滿足自反性、對稱性、傳遞性三個條件。
女2
女1
X
X
男2
男1
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