集合之關係.doc

姓名：林卓笙 Lam Cheok Sang 學號：H-A0-1850-1 學院：教育學院 學系：數學系 幾何筆記 集合之關係： 例一：大學內，設X={所有男生} Y={所有女生} 關係：互相認識 卡氏積：X*Y={(a,b)(??(X(Y)(a(X, b(Y} 有序對 M1 . 10女 . . . M10 B1((((((((((((((B10 10男 如果a認識b，則把有序對(a,b)放入一個集合R(X*Y 情況一：男方與女方互不相識。R=( 情況二：男方與女方互相認識。R=X*Y 情況三：每個男仕只有一位女朋友，同樣，每位女仕只有一位男朋友。 則R={(B1,Mi1),(B2,Mi2),…………,(B10,Mi10)} 且i1,i2,……….,i10是1,………..,10的排列。 例子：(B1,M10),(B2,M9),(B3,M7)………… 此外，有更多的情況： R={(男2,女1),(男2,女2)} 集合關係定義：設X，Y為任意集合，一個由X到Y的﹝二元﹞關係，是指X*Y的一個子集R。x,y)(R(x+y=5 則R={5,0},(2,3),(4,1),(3,2)} (1,4)(R。原因(1,4)(X*Y 公理 A=B((x(x(A(x(B) (A(B)(C=(A(C)((B(C) x((A(B)(C((x(A(B)((x(C) ([(x(A)((x(B)]((x(C) . . . . . . (x((A(C)((B(C) 例四：Z整數集合 分為n組 例n=2，如奇偶兩組﹝I﹞；或者非負，負兩組﹝II﹞ 定義一個關係R(Z*Z如下： (x,y)(R(整數x，y在同一組中 在情況﹝I﹞下，RI包含有序對(1,1)，(1,3)，(0,2)，(2,4) 在情況﹝II﹞下，RII包含有序對(-1,-2)……… 引入﹝III﹞將Z分為n組如下： 按照x被n除後的餘數({0,1,…,n-1} 例n=5，RIII包含(5,10)，(6,1)，(7,2)，(9,-1) (a,b)(RIII((b-a(能被n整除 (被除數)=(商)(除數)+餘數 定義：設R(X*Y的一個關係，domR={x(X((y(Y(x,y)(R} ranR={y(Y((x(X(x,y)(R}，分別稱為R的定義域，值域。 證：﹝1﹞當X=Y，簡稱R(X*Y為在X上的一個﹝二元﹞關係。 ﹝2﹞關係S，R(X*Y是不相等，當且僅當S(R﹝作為X*4的子集﹞ 定義：設R(X*Y，S(Y*Z為兩個關係。定義一個由Y到X的一個關係；記為R-1：(y,x)(R-1((x,y)(R。 定義一個由X至Z的一個關係，記S。R((X*Z) (x,z)(S。R((y(Y((x,y)(R((y,z)(S) 稱R-1為R的逆，S。R為S與R的複合。 回到例二：x={1,2,3,4,5} y={0,1,2,3} R={(2,3),(3,2),(4,1),(5,0)} R-1={(3,2),(2,3),(1,4),(0,5)} 引入S(Y*X﹝此時Z=X﹞ (z) (z) (y,x)(S(y+x=4 ((x,y)(R(x+y=5) S={(1,3),(2,2),(0,4),(3,1)} R S R X Y X Y 問題：﹝i﹞S。R(X*X? ﹝ii﹞R。S(Y*Y? (2,1)(S。R={(2,1) , (3,2) , (4,3) , (5,4)} 理由：(2,3)(R (3,2) (R (4,1) (R (5,0) (R (3,1)(R (2,2) (R (1,3) (R (0,4) (R (a,b)(S。R(a-b=1 (a,b)(R。S(b-a=1 (a,b)( R。S((x(X((a,x)(S((x,b)(R) ((x(X(a+x=4(x+b=5) 除去x b-a=5-4=1 R。S={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)} 定義：設R為X上的二元關係，﹝R(X*X﹞ 稱R為自反性如果對於所有x(X有(x,x)(R； 反自反性如果對於所有x(X有(x,x)(R； 對稱性如果對於所有x(X有(x,y)(R((y,x)(R； 反對稱性如果對於所有x,y(X有(x,y)(R((y,x) (R(x=y； 傳遞性如果對於所有x,y,z(X有(x,y)(R((y,z) (R((x,z) (R； 等價關係：如果R滿足自反性、對稱性、傳遞性三個條件。 女2 女1 X X 男2 男1