等价关系与集合的分类.doc

§10 等价关系与集合的分类 一、关系 定义10.1 设是集合，。一个到的映射叫做的元间一个关系如果，则说与符合关系，记作；如果，则说与不符合关系。 例1 设=R (实数集)。 ; ； ; ； ; ； ; ； 都是实数R的元间的关系。其中分别是通常的的关系和=的关系。 作为一种特殊的关系，有 定义10.2 集合的元间一个关系~叫做一个等价关系，如果~满足以下规律： (1) (自反性)；(2) (对称性)； (3) (传递性)。 若，则称与等价。 例1中是等价关系。 二．分类 定义10.3 设一个集合分成若干个非空子集，使得中每一个元素属于且只属于一个子集，则这些子集的全体称为的一个分类。每一个子集称为一个类。类里任何一个元素称为这个类的一个代表。刚好由每一类一个代表作成的集合叫做一个全体代表团。 注：由定义可知，的非空子集是的一个分类当且仅当其满足下列性质： (1) (2)当时，，即不同的类互不相交。 例2 设，则 是的一个分类，但是不是的一个分类，因为。也不是的一个分类，因为不属于任何一个子集。 等价关系与集合的分类的关系由以下两个定理可以看出。 定理10.1 集合的一个分类决定的元间的一个等价关系。 证明 设是的一个分类。规定 显然~是的一个关系。下证它是一个等价关系。 显然，；(2) ，若，则， ，从而；(3) ,若，则 ，于是，从而。因此~是上的一个等价关系。 定理10.2 集合的一个等价关系~决定的一个分类。 证明 ，令，则的子集族是的一个分类。事实上(i)，由于，于是。所以是一个非空子集，并且；(ii)若，则，于是，从而，由此得到（有而于是，故，所以。同理，所以）。所以不同的等价类互不相交。 例3 Z(整数集)，N(自然数集)。规定。易知这是一个等价关系((1) 自反性，(2) 若对称性，(3) 若，则，于是传递性 )。称为模的同余关系，记作。此等价关系决定的一个分类，称为模的剩余类，记作Zn。其元素为 ,,···,。通常用来作为这个类的全体代表团。 作业： Page 30 第3题