2.7向量组的线性相关性.ppt.ppt

1.线性组合与线性表示 2.线性相关与线性无关 3.线性相关性判定定理 7.1 线性组合与线性表示(Linear combination) 7.2 线性相关与线性无关(Linear dependent Linear independent) 2.7 极大线性无关组及线性表示系数的求法 1. 向量组秩的求法 2. 向量组极大线性无关组的求法 3. 用极大线性无关组表示其他的向量 例4. 求下列向量组a１=(1, 2, 3, 4)，a2 =( 2, 3, 4, 5)， a3 =(3, 4, 5, 6)的秩. 步1.把向量组的向量作为矩阵的列（或行）向量组成矩阵A； 步2.对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B； 步3.阶梯形B中非零行的个数即为所求向量组的秩． 解：以a１,a２,a３为列向量作成矩阵A, 因为阶梯形矩阵的秩为2，所以向量组的秩为2． 1. 向量组秩的求法 问题：基本单位向量组的秩是多少？它们相关/无关？ 定理4 矩阵A经初等行变换化为B，则B的列向量组与A对应的列向量组有相同的线性相关性. 下面通过例子验证结论成立. 线性关系: 矩阵A 矩阵A1 矩阵A2 2.向量组极大线性无关组的求法 * * * * 2.7 向量组的线性相关与线性无关 例1．设 a1=(1, 0, 0)，a2=(0, 1, 0)，a3=(0, 0, 1)， b=(2, -1, 1)， 则b=(2, -1, 1)是向量组a1，a2 ，a3的线性组合. 即 b=(2, -1, 1)是向量组a1，a2 ，a3的线性组合，也就是说b可由 a1，a2 ，a3线性表示. 因为 2a1-a2 + a3 =2(1, 0, 0)-(0, 1, 0)?(0, 0, 1) =(2, -1, 1)= b ， 定义1 给定n维向量b，a1，a2，??? ，am，如果存在一组数k1，k2，??? ，km，使 b?k1a1?k2a2? ??? ? kmam， 则称向量b是向量组a1，a2 ，??? ，am的线性组合，或称b可由向量 组a1，a2 ，??? ，am线性表示. 例2．任何一个n维向量a=(a1, a2, ??? , an)都是n维向量组 e1=(1, 0, ??? , 0)，e2=(0, 1, ??? , 0)，??? ，en=(0, 0, ??? , 1)的线性组合. 这是因为a=a1e1? a2e2? ??? ? an en . 注：向量组 e1，e2，??? ，en称为 n 维单位（或基本）向量组. 7.1 线性组合与线性表示(Linear combination) 定义1 给定n维向量b，a1，a2，??? ，am，如果存在一组数k1，k2，??? ，km，使 b?k1a1?k2a2? ??? ? kmam， 则称向量b是向量组a1，a2 ，??? ，am的线性组合，或称b可由向量 组a1，a2 ，??? ，am线性表示. 例3．零向量是任何一组向量的线性组合. 这是因为o=0?a1? 0?a2? ??? ? 0? am . 例4．向量组a1，a2 ，??? ，am中的任一向量ai(1?i?m)都是此 向量组的线性组合. 这是因为ai=0?a1? ??? + 1?ai ? ??? ? 0? am . 7.1 线性组合与线性表示(Linear combination) 定义1 给定n维向量b，a1，a2，??? ，am，如果存在一组数k1，k2，??? ，km，使 b?k1a1?k2a2? ??? ? kmam， 则称向量b是向量组a1，a2 ，??? ，am的线性组合，或称b可由向量 组a1，a2 ，??? ，am线性表示. 例5．线性方程组的向量表示(向量方程) a11x1 a21x1 ??? am1x1 a12x2 a22x2 ??? am2x2 ??? ??? ??? ??? a1nxn a2nxn ??? amnxn b1 b2 ??? bm = = = = + + + + + + + + + + - + a11 a21 ??? am1 x1 a12 a22 ??? am2 x2 + xn a1n a2n ??? amn +??? + b1 b2 ??? bm = 或 即 其中, 定义2 设有n维向量组a1，a2，??? ，am，如果存在一组 不全为零的数 k1，k2， ??? ，km，使