2.3拉普拉斯方程的解.ppt

§2.3 拉普拉斯方程的解——分离变量法 求满足给定边界条件的泊松方程 的解。 静电学的基本问题： 泊松方程的通解φ＝特解φ’ ＋齐次方程通解φ’’ 由ρ引起 由边界条件引起σ≠0 ①空间自由电荷 ，自由电荷只分布在某些介质（或导体）表面上。 ②电势φ满足拉普拉斯方程 在所求区域的介质中若有自由电荷分布，则要求自由电荷分布在真空中产生的势为已知。 （一）分离变量法的适应范围 （二）拉普拉斯方程在直角坐标系中的表示 设 在数学物理方法中，该方程的通解的 （A、B、C为待定系数） 或者写成： （傅立叶级数） （三）拉普拉斯方程在球坐标系中的表示式 设 该方程的通解为 ——为缔合勒让德（Legendre)函数 （1）m=0，轴对称时的通解形式 ，与 无关 通解为 勒让德函数 为待定系数 （2）m=0，n=0，球对称时的通解形式 ，与 ， 无关 球对称问题的通解形式 （三）拉普拉斯方程在柱坐标系中的表示 设 该方程的通解（略） （四）用分离变量法求解Laplace 方程的步骤 第一步：分析对称性，选择坐标系 第二步：分区列出拉普拉斯方程和边值关系 第三步：分区写出级数解 第四步：用边界条件和边值关系定系数 Q R1 R2 R3 φ1 φ2 [例1]一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带电荷为Q 。同心地包围着一个半径为R1的导体球（R1R2)，使半径R1的导体球接地，求空间各点的电势和这个导体球的感应电荷。 第一步：分析对称性，选择坐标系 [分析]：根据题意，具有球对称性， 电势不依赖于极角 和方位角 ，只与半径r有关。 解： (一）定解条件为 第二步：分区列出拉普拉斯方程和边值关系 问题具有球对称性，所以设通解为 （6） (二）边界条件为 (3) (5) 由（3）式 由（2）式 由（5）式 （7） 第三步：分区写出级数解 第四步：用边界条件和边值关系定系数 代入到（6）式 代入到 令 导体球上的感应电荷为 若介质1为导体： [分析]：由于这个问题具有轴对称性，取极轴z沿外电场 方向。 例2 介电常数为ε的均匀介质球，半径为R，被置于均匀外场 中，球外为真空。求电势分布。 第一步：分析对称性，选择坐标系 第二步：分区列出拉普拉斯方程和边值关系 z R (一）定解条件为 (二）边界条件为 φ0为坐标原点的电势，令其为0。 （1） （2） （3） （4） 第三步：分区写出级数解 由于本问题具有轴对称，设解为 第四步：用边界条件和边值关系定系数 由（1）式 比较两边的系数 由（2）式 所以两个解为 由（3）式 比较两边的系数 （5） （6） （7） 由（4）式 比较两边的系数 由（8）式得 由（6）、（9）式得 由（7）、（10）式得 球内外的电势为： （一）球内的场是一个与球外场平行的恒定场，而且球内电场比原外场 弱。 讨论： 球内介质的极化强度为 介质球的总电偶极矩为 （二）球外场： 例3 半径为R0的导体球被置于均匀外场 中，球外为真空。求电势分布。 解： 由例2，令 ，即为例3的解 （二）利用叠加原理和分离变量法求解的问题 泊松方程的通解φ＝特解φ’ ＋齐次方程通解φ’’ 由ρ引起 分离变量法 q 电势＝点电荷的电势＋面极化电荷电势 边值关系： 无外场 时，一个均匀带电 的介质球所产生电势 介质球不带 时且有外场 所产生电势 小 结 第一步：分析对称性，选择坐标系 第二步：分区列出拉普拉斯方程和边值关系 第三步：分区写出级数解 第四步：用边界条件和边值关系定系数 用分离变量法求解拉氏方程的步骤： 常用边界条件、边值关系 （i）介质分界面的边值关系： （ii）给出导体电势时，导体面上的边界条件为： （iii）给定导体的电量Q时， 导体面上的边界条件为： （iv）自然边值条件 * 许多实际问题中，电场是带电导体所决定的。自由电荷只能分布在导体的表面上。因此，在没有电荷分布的区域V里, 泊松方程就转化为拉普拉斯方程，即 * a 根据表面和分界面的形状选定适当的坐标系，并利用问题的对称性尽量减少自变量的个数。 b 分区列出Laplace 方程，用分离变量法求出方程的级数解（这一级数解一般已在数学物理方程中求得，在第二种情况下需要求Poisson 方程的一个特解）。我们在这里只直接给出通解式。 c 剔除不合理的解 d 用定解条件（边界条件和边值关系）确定级数解中的待定系数。 * 介质球的存在使空间分为两个均匀区域—球内、球