分水中学初三数学师生讲学稿.doc

圆的对称性2 教学目标： 1．知识与技能：圆的对称性垂径定理及其逆定理，运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明. 2．过程与方法： 经历探索圆的对称性及其相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法. 3．情感态度与价值观： 通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动谨慎精神. 教学重点：垂径定理及其逆定理. 教学难点：垂径定理及其逆定理的证明. 教学设计： 一、预习检测 1._____________________________________________________是轴对称图形. 2. 圆是_________________图形,其对称轴为_________________. 3. 如图,在O中，CD是直径，AB是弦，CDAB，垂足为E． 　AE=_____， = ， = ． ，则∠AOB＝＿＿＿＿＿。 6. ⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（ ） A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5 二、讲授新课 同学们想一想：圆是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴? （圆是轴对称图形．过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．） 你是用什么方法解决上述问题的?大家互相讨论一下． 我们可以利用折叠的方法，解决上述问题．把一个圆对折以后，圆的两半部分重合，折痕是一条过圆心的直线，由于过圆心可以作无数条直线。这样便可知圆有无数条对称轴． 圆是轴对称图形。过圆心的任意一条直线都是对称轴． 做一做 按下面的步骤做一做: 1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合． 2．得到一条折痕CD． 3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足． 4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如上图． 教师叙述步骤，师生共同操作，并提出问题： 1．通过第一步，我们可以得到什么? （可以知道：圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴．） 2．很好．在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧? 为什么呢? （AM＝BM，AC＝BC，AD =BD，因为折痕AM与BM互相重合，A点与B点重合．） 3．还可以怎么说呢?能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系? 如右图示，连接OA、OB得到等腰△ABC，即OA=OB，因CD⊥AB，故△OAM与△OBM都是Rt△，又OM为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM=BM，又⊙O关于直径CD对称，所以点A与点B关于CD对称，当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，AC与BC重合AD与BD重合．因此AM＝BM，AC＝BC，AD =BD ） 4．在上述操作过程中，你会得出什么结论? 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． [这就是利用圆的轴对称性得到的与圆相关的一个重要性质——垂径定理．在这里注意：①条件中的 “弦”可以是直径．②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弦． 下面，我们一起看一下定理的证明： 如上图，连接OA、OB，则OA=OB 在Rt△OAM和Rt△OBM中， ∵ OA=OB，OM=OM ∴ Rt△OAM≌Rt△OBM ∴ AM=BM ∴ 点A和点B关于CD对称 ∵ ⊙O关于直径CD对称 ∴ 当圆沿着直径CD对折时，点A和点B重合，AC和BC重合，AD 和BD重合 ∴ AC＝BC，AD =BD 即垂径定理的条件有两项，结论有三项．用符号语言可表述为： 为了运用的方便，不易出现错误，易于记忆，可将原定理叙述为：一条直线若满足：(1)过圆心；(2)垂直于弦，那么可推出：①平分弦，②平分弦所对的优弧，③平分弦所对的劣弧． 例题讲解 通过求解例，来熟悉垂径定理以及常见的辅助线 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证AC=BD．（证明略） 拓展延伸 1. 在半径为5的圆中,弦AB∥CD,AB=6,CD=8,试求AB和CD的距离. 2.一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm,则圆的半径为( ) (A)16cm或6cm, (B)3cm或8cm 　 (C)3cm 　　（D）cm和5cm，则圆心到这条弦的距离为_____ . 3．已知⊙O中，半径OD⊥直径AB，F是OD中点，弦BC过F点，若⊙O半径为R,则弦BC长＿＿＿＿＿ 4. ⊙