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第四章学习提纲 学习目标： 1. 掌握平行四边形的特征，并能正确识别。 2. 掌握几种特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形的概念和各自所具有的特殊特征，并学会识别这些特殊的图形。 3. 掌握梯形的概念，探索并了解等腰梯形的有关特征，并会运用分解梯形为平行四边形与三角形的方法解决一些简单的问题。 4. 了解平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形相互之间的关系。 本章知识结构： 平行四边形的定义、特征、识别 四边形 定义 特征 对称性 边 角 对角线 平行四边形 两组对边分别平行的四边形 对边平行 且相等 对角相等 互相平分 中心对称 识别方法 1. 两组对边分别平行的四边形 2. 一组对边平行且相等的四边形 3. 两组对边分别相等的四边形 4. 两组对角分别相等的四边形 5. 对角线互相平分的四边形 四边形 定义 特征 对称性 边 角 对角线 矩形 有一个角是直 角的平行四边形 对边平行 且相等 四个角 都是直角 互相平 分且相等 中心对称 轴对称 识别方法 1. 有三个角是直角的四边形 2. 有一个角是直角的平行四边形 3. 对角线相等的平行四边形 4. 对角线相等且互相平分的四边形 四边形 定义 特征 对称性 边 角 对角线 菱形 有一组邻边相等的平行四边形 对边平行 四条边相等 对角相等 平分对角 垂直且互相平分 中心对称 轴对称 识别方法 1. 四条边都相等的四边形 2. 一组邻边相等的平行四边形 3. 对角线互相垂直的平行四边形 4. 对角线互相垂直平分的四边形 四边形 定义 特征 对称性 边 角 对角线 正方形 四条边相等 四个角是直角 对边平行 四条边都相等 四个角 都是直角 互相垂直平分且相等并平分对角 中心对称 轴对称 识别方法 1. 一组邻边相等的矩形 2. 有一个角是直角的菱形 3. 有一组邻边相等，一个角是直角的平行四边形 四边形 定义 特征 对称性 边 角 对角线 等腰梯形 两腰相 等的梯形 两底平行 两腰相等 同一底边上 的两内角相等 相等 轴对称 识别方法 1. 同一底边上两个内角相等的梯形 2. 对角线相等的梯形 3. 两腰相等的梯形 【典型例题】 例1. MN为过Rt△ABC的直角顶点A的直线，且BD⊥MN于D，CD⊥MN于E，AB＝AC，F为BC中点。 求证：DF＝EF 分析：由F为斜边BC中点，想到连斜边中线AF，则有，这样把DF、EF分别放到△ADF、△CEF（或△DBF与△EAF）中，可考虑证它们全等。 证明：连结AF，则 ∵AB＝AC ∴△DBA≌△EAC ∴DB＝AE F为BC中点 即 又∵DB＝AE AF＝BF ∴△DBF≌△EAF ∴DF＝EF 注意：在直角三角形中，有斜边中点常连斜边中线 例2. 已知：如图，等腰梯形ABCD中，AB//CD，ABCD，AD＝BC对角线AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，且E、F、M分别为OD、OA、BC的中点，求证：△EFM是等边三角形。 分析：由等腰梯形知：OA＝OB，又∠AOB＝60°， 故△OAB为等边三角形，而F为OA中点，如连结BF有BF⊥AC， 则，同理， 又，而AD＝BC，故FM＝ME＝EF 证明：连结BF、CE ∵四边形ABCD为等腰梯形 ∴AD＝BC，AC＝BD 又∵AB为公共边 ∴△ABO为等边三角形 又∵F为AO中点 ∴BF⊥AC ∵M为BC中点 同理可证 ∵E、F分别为OD、OA中点 ∵AD＝CB ∴ME＝MF＝EF ∴△MEF为等边三角形 注意：等腰梯形的对角线与底构成的两个三角形为等腰三角形。 例3. 已知：如图，AB＝CD，AN＝ND，BM＝CM 求证：1＝2 分析：AB与CD是四边形的对边怎样把它们建立起联系呢？而由N、M分别为AD、BC的中点如连结BD，取其中点G，连结NG、MG，则有，这样把∠1与∠2通过中位线移到同一个等腰△GMN中，故问题得证。 证：连结BD，取BD中点G，再连结MG、NG则 又∵AB＝CD ∴MG＝NG 注意：有中点常构造中位线，连BD是构造中位线的基本图形连结AC也可以。 例4. 如图，已知：Q为正方形ABCD的CD边的中点，P为CD上一点，且 求证： 分析：由想到作的平分线，有 故问题得证 证明：作∠BAP的平分线AF交DC的延长线于F，交BC于E，则∠1＝∠2＝∠QAD ∵四边形ABCD为正方形 ∴BE＝DQ ∴△ABE≌△FCE 注意： ①有2倍角时常采用加倍小角或平分2倍角的方法，把分散条件集中 ②此题还可以通过求证来分析问题即采取截长补短的方法引辅助线 ［辅助线点滴］ 1