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國立板橋高中數學培訓班教材【甲】 陳明仁老師主編 林信良老師協編 數學思考的途徑 一般化【尋求適合的模式】 特殊化【或極端化】 圖形化 分析法（逆推） 反證法 利用對稱性 提出對等價問題 窮舉法 利用奇偶性 同餘 抽屜原則（鴿籠原則） （1）一般化【尋求適合的模式】： Ex1. 在西洋棋盤中，共有幾個正方形？請證明你的答案。 Ex2. 證明n個不同的元素組成的集合恰有2n個不同的子集合。 Ex3. 已知，，求？？？ Ex4. 設x1 , x2 , x3 ,...,x7為自然數，且x1x2x3.....x7，x1 + x2 + x3+...+x7=2000，x1+x2+x3 最大值。 （2）特殊化【或極端化】： Ex1.試求△的三個外角和。 Ex2. 已知，求？ Ex3. G是△ABC的重心，過G作任一直線交、於P、Q兩點，求=？ Ex4.一大燒杯中，盛有半杯水銀，並有一小鐵球在杯中。現倒進四分之一杯的水，請問：小鐵球會往上浮或往下沉或不移動？ Ex5.兩個邊長為1的正方形，其中一正方形的一頂點重合於一個正方形的中心O，並繞O旋轉。求證：無論怎樣旋轉，兩個正方形重疊部分的面積是一個定值。 Ex6. 求邊長為1的正△內任一點到三邊的距離之和？ P 4-1 （3）圖形化： Ex1. 求 x2=2x 的實數解有幾個？ Ex2. 10sinx=x的實數解有幾個？ Ex3. 已知＞＞0，＞0，求之最小值？ Ex4. 已知x、y、z且 x= y= z= 求x＋y＋z之值？ Ex5. (ABC的中線、、將(BAC分成4等分，求(BAC的大小。(請詳加說明理由) EX6. 小政找來一張圓形的馬口鐵皮，半徑為R。他想焊製一隻漏斗，應該怎切割，才能使做好的漏斗會有最大的容量。 （4）分析法（逆推）： Ex1. 已知＞＞0，求證：＞ Ex2. 求證： ＜ Ex3. 試證：a2+ b2+c2≧ab+bc+ca Ex4. 已知a1,a2,a3,….an均為正數 M=++…..+++ N=(a1+a2+……+an), 則M與N的大小關係為何？證明你的結果。 Ex6. 若, 且m為一整數，試證 （5）反證法： Ex1. 試證：（1）不是有理數 （2）+不是有理數 （3）5+4不是有理數 Ex2. 試證：不是有理數 Ex3. 試證：sin10o不是有理數 Ex4. 試證：質數有無限多個。 （6）利用對稱性： Ex1. 已知=，求= = = Ex2. （1）周長為定值的平面圖形，何種的面積最大？ （2）周長為定值的矩形，何種的面積最大？ （3）周長為定值的三角形，何種的面積最大？ （4）體積為定值的平行六面體，何種的表面積最小？ Ex3. 確定的全部實數解x、y、z、w。 Ex4. 試求所有的正整數使得 均為整數. （7）提出對等價問題： Ex1. 當等於多少時，依次恰有0個、1個、2個、3個、4個解？ Ex2. 試證：x7－2x5+10x2=1不具有大於1的根。 （8）窮舉法： Ex1. 求證：雙曲線2x2－5y2=7不會通過格子點。 提示：搭配整數的奇偶性 Ex2. 求證：f（n）=n2（n2－1）能被12整除，其中n是整數。 （9）利用奇偶性： Ex1. 在直角坐標系中有5個格子點，求證：這5個格子點兩兩之間所連的線段上， 必有一個內點是格子點。 Ex2. 的棋盤上，每格各放一個馬，請問：每個馬能同時合乎象棋規則各走一步？ Ex3. 、X2、X3…、Xn-1、Xn均為-1或0或1或2，n為正整數，且滿足下列兩個等式： X1+X2+X3+…+Xn-2+Xn-1+Xn=91 X12+X22+X32+…+Xn-22+Xn-12+Xn2=2002 求X13+X23+…+Xn-13+Xn3之最大值、最小值。 (1)若無解，請說明原因；若有解，請求出其最大值與最小值。 (2)若將題目改成X1+X2+X3+…+Xn-2+Xn-1+Xn=92，是否有解？若無解，請說明原因；若有解 請求出其最大值與最小值。 P 4-3 （10）同餘： 整數n≧2，將所有整數按照它被n除之後的餘數分為n個剩餘類。 如果兩個整數x、y被n除之後的餘數相同，我們稱為關於模n同餘。記為 x≡y（mod n） 讀作『x等於y模n』 我們由定義可得： 1若 x≡y（mod n），則y≡x（mod