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國立板橋高中數學培訓班教材【甲】 陳明仁老師主編
林信良老師協編
數學思考的途徑
一般化【尋求適合的模式】
特殊化【或極端化】
圖形化
分析法(逆推)
反證法
利用對稱性
提出對等價問題
窮舉法
利用奇偶性
同餘
抽屜原則(鴿籠原則)
(1)一般化【尋求適合的模式】:
Ex1. 在西洋棋盤中,共有幾個正方形?請證明你的答案。
Ex2. 證明n個不同的元素組成的集合恰有2n個不同的子集合。
Ex3. 已知,,求???
Ex4. 設x1 , x2 , x3 ,...,x7為自然數,且x1x2x3.....x7,x1 + x2 + x3+...+x7=2000,x1+x2+x3
最大值。
(2)特殊化【或極端化】:
Ex1.試求△的三個外角和。
Ex2. 已知,求?
Ex3. G是△ABC的重心,過G作任一直線交、於P、Q兩點,求=?
Ex4.一大燒杯中,盛有半杯水銀,並有一小鐵球在杯中。現倒進四分之一杯的水,請問:小鐵球會往上浮或往下沉或不移動?
Ex5.兩個邊長為1的正方形,其中一正方形的一頂點重合於一個正方形的中心O,並繞O旋轉。求證:無論怎樣旋轉,兩個正方形重疊部分的面積是一個定值。
Ex6. 求邊長為1的正△內任一點到三邊的距離之和?
P 4-1
(3)圖形化:
Ex1. 求 x2=2x 的實數解有幾個?
Ex2. 10sinx=x的實數解有幾個?
Ex3. 已知>>0,>0,求之最小值?
Ex4. 已知x、y、z且 x=
y=
z= 求x+y+z之值?
Ex5. (ABC的中線、、將(BAC分成4等分,求(BAC的大小。(請詳加說明理由)
EX6. 小政找來一張圓形的馬口鐵皮,半徑為R。他想焊製一隻漏斗,應該怎切割,才能使做好的漏斗會有最大的容量。
(4)分析法(逆推):
Ex1. 已知>>0,求證:>
Ex2. 求證: <
Ex3. 試證:a2+ b2+c2≧ab+bc+ca
Ex4. 已知a1,a2,a3,….an均為正數
M=++…..+++
N=(a1+a2+……+an), 則M與N的大小關係為何?證明你的結果。
Ex6. 若, 且m為一整數,試證
(5)反證法:
Ex1. 試證:(1)不是有理數 (2)+不是有理數 (3)5+4不是有理數
Ex2. 試證:不是有理數
Ex3. 試證:sin10o不是有理數
Ex4. 試證:質數有無限多個。
(6)利用對稱性:
Ex1. 已知=,求=
= =
Ex2. (1)周長為定值的平面圖形,何種的面積最大?
(2)周長為定值的矩形,何種的面積最大?
(3)周長為定值的三角形,何種的面積最大?
(4)體積為定值的平行六面體,何種的表面積最小?
Ex3. 確定的全部實數解x、y、z、w。
Ex4. 試求所有的正整數使得 均為整數.
(7)提出對等價問題:
Ex1. 當等於多少時,依次恰有0個、1個、2個、3個、4個解?
Ex2. 試證:x7-2x5+10x2=1不具有大於1的根。
(8)窮舉法:
Ex1. 求證:雙曲線2x2-5y2=7不會通過格子點。
提示:搭配整數的奇偶性
Ex2. 求證:f(n)=n2(n2-1)能被12整除,其中n是整數。
(9)利用奇偶性:
Ex1. 在直角坐標系中有5個格子點,求證:這5個格子點兩兩之間所連的線段上,
必有一個內點是格子點。
Ex2. 的棋盤上,每格各放一個馬,請問:每個馬能同時合乎象棋規則各走一步?
Ex3. 、X2、X3…、Xn-1、Xn均為-1或0或1或2,n為正整數,且滿足下列兩個等式:
X1+X2+X3+…+Xn-2+Xn-1+Xn=91
X12+X22+X32+…+Xn-22+Xn-12+Xn2=2002
求X13+X23+…+Xn-13+Xn3之最大值、最小值。
(1)若無解,請說明原因;若有解,請求出其最大值與最小值。
(2)若將題目改成X1+X2+X3+…+Xn-2+Xn-1+Xn=92,是否有解?若無解,請說明原因;若有解
請求出其最大值與最小值。
P 4-3
(10)同餘:
整數n≧2,將所有整數按照它被n除之後的餘數分為n個剩餘類。
如果兩個整數x、y被n除之後的餘數相同,我們稱為關於模n同餘。記為
x≡y(mod n) 讀作『x等於y模n』
我們由定義可得:
1若 x≡y(mod n),則y≡x(mod
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