4.旋转曲面的面积.ppt

* Yunnan University §4. 旋转曲面的面积 通过对不均匀量（如曲边梯形的面积，变速直线运动的路程）的分析，采用“分割、近似代替、求和、取极限”四个基本步骤确定了它们的值，并由此抽象出定积分的概念，我们发现，定积分是确定众多的不均匀几何量和物理量的有效工具。那么，究竟哪些量可以通过定积分来求值呢？ 一 定积分的微元法 为了说明微元法，我们先来回顾一下曲边梯形 面积转化为定积分的计算过程。 step1. 分割：任意划分[a, b]为n个小区间 step2. 近似： step3. 求和： step4. 取极限： 分析： 在上述问题注意到: 所求量(即面积)A满足： 1。与区间[a, b]及[a, b]上连续函数f(x)有关; 2。对[a, b]具有可加性， 3。 实际上，引出A的积分表达式的关键步骤是第 二步，因此求解可简化如下： step1: 选取积分变量及积分 区间（如x属于[a, b]） step2: 取微区间[x, x+dx] 求出 step3: 这种方法称为定积分的微元法。 例 解: 弧长微元 x y o 二、旋转曲面的面积 旋转曲面的面积为 例 1 x y o 解 解： 由对称性,有 由对称性,有 由对称性,有 * Yunnan University §4. 旋转曲面的面积 * * 一般地，如果旋转曲面是由平面光滑曲线段 ，绕轴旋转一周而成的，旋转曲面的面积为多少？ 取积分变量为， 在上任取小区间， 若曲线由参数方程 定义，且则由弧微分公式推知曲线C绕轴旋转所得曲面的面积 这是因为这时可看成参数方程，。 通过轴上的点与分别作垂直于轴的平面，它们在旋转曲面上截下一条狭带．当很小时，此狭带的面积近似于一圆台的侧面积，取其为面积元素，