学年论文 线性方程组的求解及应用.docVIP

学 年 论 文 题 目：浅谈线性方程组的求解及应用 学 院：数学与统计学院 专 业：信息与计算科学 学生姓名： 学 号： 指导教师： 浅谈线性方程组解的求解及应用 数学与统计学院 12级信息与计算科学专业 摘要：我们已经学习过了一些关于线性方程组的一般理论，本文在我们学习的基础上总结并推广，讨论了这些理论在高等代数中的应用，并试图应用简单的数学软件来实现求解过程。 英文摘要：We have learned some common theories about system of linear equations, this article will summarize and on the basis of what we have known, discuss their application in high algebra and try to use a simple math software to find roots. 关键词:克拉默法则 消元解法 MATLAB 直接法 迭代法 Key Word: Cramer’s Rule Elimination Method MATLAB Direct Method Iterative Method 引言 在自然科学和工程技术中，很多问题的解决往往归结于求解线性代数方程组，例如电学中的网络问题，船体数学放样中建立三次样条函数问题，用差分法或者有限元方法解常微分方程组、偏微分方程的边值问题等，最后都归结为求解线性代数方程组。 在中学代数中，我们学过二元、三元线性方程组。但在生产实际中所遇到的线性方程组，它的未知量往往不止两个、三个。那我们又该如何其求解呢？ 本文的主要内容就是以行列式、矩阵为工具讨论一些简单的线性方程组解的存在性、求解方法。具体地说就是要讨论以下几个问题： 线性方程组在什么情况下有解？也就是它有解的充要条件是什么？ 假如没有解，当然不再讨论：如果有解，它究竟有多少个解？又怎么去求解？ 假如只有一个解，那也简单；假如有多个解，解与解的关系又是怎么? 线性方程组有什么应用？ 经过深入的学习我们发现一些方程组的系数矩阵大多比较复杂，我们利用高等代数中的解法并不能得到它的解，我们用该怎么求解呢？ 经过数值分析这一门课程的学习我们知道关于线性方程组的数值解法一般两类，一类是直接法，另一类是迭代法。 本文将简略介绍直接法中的最基本的Gauss消去法及其某些变形（这类方法是解低阶稠密矩阵方程组的有效方法）和详细介绍迭代法的一些基本理论及Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代法、超松弛迭代法以及使用MATLAB如何进行线性方程组的快速求解。 二、简单线性方程组的求解 行列式按行展开定理【1】：n阶行列式D等于它的任一行元素与该行元素的对应代数余子式乘积之和。即 定理2【1】：行列式的某一行元素与另一行的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零。 1.克拉默法则（行列式） 如果线性方程组 的系数行列式 其中 即Di是把D中的第i 列的元素换成线性方程组的常数项而得到的行列式。 证明：为证明（2）式是线性方程组（1）的解，只需把它代入方程组（1）的每个方程，如果两端相等，则说明（2）确实是方程组（1）的解。 将（2）式代入方程组（1）的第i个方程组的左端，并注意把Di按照第i 行展开，得 根据行列式按行展开定理和定理2，可以看出，上式左端方括号只有bi的系数是D，而其他的bk (k≠i)的系数都是零，故得 这说明（2）式是方程组（1）的解。 再证解的唯一性。 任给方程组的一个解： x1 = c1, x2 = c2, … xn =cn , (3) 我们只要证明（3）与（2）相同即可。将（3） 给行列式的第2，3…，n列分别乘以c2,c3,…,cn后都加到第一列，得到. 根据（4）式，得 , 因D≠0，所以这样，我们证明了（1）的任一解都是（2），所以（1）的解是唯一的。 2.消元解法 上面已经了解了解线性方程组的克拉默法则，但是使用克拉默法则是条件的，它要求线性方程组中方程的个数与未知量的个数相等，而且系数行列式不为零，可是在很多问题中，我们所遇到的线性方程组并不都是这样的，有时方程的个数虽与未知量的个数相等，但系数行列式等于零；有时甚至于方程的个数与未知量的个数都不相等，这时就无行列式可言了。那么对于一般的线性方程组，究竟该如何求解呢？ 定理3 [1] 设线性方程组的（I）和（II）的增广矩阵分别为A和B。如果A可经过初