6-6第六节直接证明与间接证明.doc

第六节　直接证明与间接证明 时间：45分钟　分值：75分 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是(　　) A．假设a，b，c都是偶数 B．假设a，b，c都不是偶数 C．假设a，b，c至多有一个偶数 D．假设a，b，c至多有两个偶数 解析　“至少有一个”的否定为“都不是”．故选B. 答案　B 2．要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明(　　) A．2ab－1－a2b2≤0 B．a2＋b2－1－≤0 C.－1－a2b2≤0 D．(a2－1)(b2－1)≥0 解析　a2＋b2－1－a2b2≤0(a2－1)(b2－1)≥0. 答案　D 3．(2014·临沂模拟)若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系(　　) A．PQ B．P＝Q C．PQ D．由a取值决定 解析　假设PQ，要证PQ，只要证P2Q2， 只要证：2a＋7＋22a＋7＋2， 只要证：a2＋7aa2＋7a＋12， 只要证：012，012成立，PQ成立． 答案　C 4．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x20，则f(x1)＋f(x2)的值(　　) A．恒为负值 B．恒等于零 C．恒为正值 D．无法确定正负 解析　由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x20，可知x1－x2，f(x1)f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)0，故选A. 答案　A 5．不相等的三个正数a，b，c成等差数列，并且x是a，b的等比中项，y是b，c的等比中项，则x2，b2，y2三数(　　) A．成等比数列而非等差数列 B．成等差数列而非等比数列 C．既成等差数列又成等比数列 D．既非等差数列又非等比数列 解析　由已知条件，可得 由②③得代入， 得＋＝2b，即x2＋y2＝2b2. 故x2，b2，y2成等差数列，故选B. 答案　B 6．(2014·济南模拟)设x，y，z0，则三个数＋，＋，＋(　　) A．都大于2 B．至少有一个大于2 C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2 解析　假设这三个数都小于2，则三个数之和小于6，又＋＋＋＋＋＝＋＋≥2＋2＋2＝6，与假设矛盾，故这三个数至少有一个不小于2.另取x＝y＝z＝1，可排除A、B. 答案　C 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．已知三个不等式ab0；；bcad.以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成________个正确命题． 解析　，；. 答案　3 8．在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1＝b1＞0，a3＝b3＞0，a1≠a3，则a5和b5的大小关系为________． 解析　方法1：设公比为q，公差为d， 则a3＝a1q2，b3＝b1＋2d＝a1＋2d， 故由a3＝b3，得2d＝a1(q2－1)． 又a1≠a3，q2≠1. ∴a5－b5＝a1q4－(a1＋4d) ＝a1q4－[a1＋2a1(q2－1)] ＝a1(q2－1)2＞0. a5＞b5. 方法2：在等比数列{an}中，a1≠a3， 公比不为1.∴a1≠a5. 又a1＝b1，a3＝b3，a5＝a3q2＞0(q为公比)， b3＝＝a3＝＜＝. ∴a5＞b5. 答案　a5＞b5 9．已知点An(n，an)为函数y＝的图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中nN*，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为__________． 解析　an＝，bn＝n. 方法1：cn＝－n＝随n的增大而减小，为减函数，cn＋1＜cn. 方法2：cn＋1＝－(n＋1)，cn＝－n， ＝＝＞1. cn＞cn＋1. 答案　cn＞cn＋1 三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．已知a0，求证：－≥a＋－2. 证明　要证－≥a＋－2. 只要证＋2≥a＋＋. a0，故只要证2≥2， 即a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2＋2， 从而只要证2≥， 只要证4≥2，即a2＋≥2， 而上述不等式显然成立，故原不等式成立． 11．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且0xc时，f(x)0. (1)证明：是函数f(x)的一个零点； (2)试用反证法证明c. 证明　(1)f(x)图象与x轴有两个不同的交点， f(x)＝0有两个不等实根x1，x2. f(c)＝0，x1＝c是f(x)＝0的根， 又x1x2＝，x2＝(≠c)， 是f(x)＝0的一个根，即是函数f(x)的一个零点． (2)假设c，又0， 由0xc时，f(