高三毕业班数学课本知识点整理归纳之十六.docVIP

2010-2011年高三毕业班数学课本知识点整理归纳之十六 第十六章 平面几何 一、常用定理（仅给出定理，证明请读者完成） 梅涅劳斯定理 设分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若三点共线，则 梅涅劳斯定理的逆定理 条件同上，若则三点共线。 塞瓦定理 设分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若三线平行或共点，则 塞瓦定理的逆定理 设分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若则三线共点或互相平行。 角元形式的塞瓦定理 分别是ΔABC的三边BC，CA，AB所在直线上的点，则平行或共点的充要条件是 广义托勒密定理 设ABCD为任意凸四边形，则AB?CD+BC?AD≥AC?BD，+AC2?-BP?PC. 西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。 西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在三角形的外接圆上。 九点圆定理 三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆。 蒙日定理 三条根轴交于一点或互相平行。（到两圆的幂（即切线长）相等的点构成集合为一条直线，这条直线称根轴） 欧拉定理 ΔABC的外心O，垂心H，重心G三点共线，且 二、方法与例题 1．同一法。即不直接去证明，而是作出满足条件的图形或点，然后证明它与已知图形或点重合。 例1 在ΔABC中，∠ABC=700，∠ACB=300，P，Q为ΔABC内部两点，∠QBC=∠QCB=100，∠PBQ=∠PCB=200，求证：A，P，Q三点共线。 [证明] 设直线CP交AQ于P1，直线BP交AQ于P2，因为∠ACP=∠PCQ=100，所以，①在ΔABP，ΔBPQ，ΔABC中由正弦定理有 ，②，③④ 由②，③，④得。又因为P1，P2同在线段AQ上，所以P1，P2重合，又BP与CP仅有一个交点，所以P1，P2即为P，所以A，P，Q共线。 2．面积法。 例2 见图16-1，◇ABCD中，E，F分别是CD，BC上的点，且BE=DF，BE交DF于P，求证：AP为∠BPD的平分线。 [证明] 设A点到BE，DF距离分别为h1,h2，则 又因为S◇ABCD=SΔADF，又BE=DF。 所以h1=h2，所以PA为∠BPD的平分线。 3．几何变换。 例3 （蝴蝶定理）见图16-2，AB是⊙O的一条弦，M为AB中点，CD，EF为过M的任意弦，CF，DE分别交AB于P，Q。求证：PM=MQ。 [证明] 由题设OMAB。不妨设。作D关于直线OM的对称点。 连结，则要证PM=MQ，只需证，又∠MDQ=∠PFM，所以只需证F，P，M，共圆。 因为∠=1800-=1800-∠=1800-∠。（因为OM。AB//） 所以F，P，M，四点共圆。所以Δ≌ΔMDQ。所以MP=MQ。 例4 平面上每一点都以红、蓝两色之一染色，证明：存在这样的两个相似三角形，它们的相似比为1995，而且每个三角形三个顶点同色。 [证明] 在平面上作两个同心圆，半径分别为1和1995，因为小圆上每一点都染以红、蓝两色之一，所以小圆上必有五个点同色，设此五点为A，B，C，D，E，过这两点作半径并将半径延长分别交大圆于A1，B1，C1，D1，E1，由抽屉原理知这五点中必有三点同色，不妨设为A1，B1，C1，则ΔABC与ΔA1B1C1都是顶点同色的三角形，且相似比为1995。 4．三角法。 例5 设AD，BE与CF为ΔABC的内角平分线，D，E，F在ΔABC的边上，如果∠EDF=900，求∠BAC的所有可能的值。 [解] 见图16-3，记∠ADE=α，∠EDC=β， 由题设∠FDA=-α，∠BDF=-β， 由正弦定理：， 得， 又由角平分线定理有，又，所以， 化简得，同理，即 所以，所以sinβcosα-cosβsinα=sin(β-α)=0. 又-πβ-απ,所以β=α。所以，所以A=π。 5．向量法。 例6 设P是ΔABC所在平面上的一点，G是ΔABC的重心，求证：PA+PB+PC3PG. [证明] 因为 ，又G为ΔABC重心，所以 （事实上设AG交BC于E，则，所以） 所以，所以 又因为不全共线，上式“=”不能成立，所以PA+PB+PC3PG。 6．解析法。 例7 H是ΔABC的垂心，P是任意一点，HLPA，交PA于L，交BC于X，HMPB，交PB于M，交CA于Y，HNPC交PC于N，交AB于Z，求证：X，Y，Z三点共线。 [解] 以H为原点，取不与条件中任何直线垂直的两条直线为x轴和y轴，建立直角坐标系，用(xk,yk)表示点k对应的坐标，则直线PA的斜率为，直线HL斜率为，直线HL的方程为x(xP-xA)+y(yP-yA)=0. 又直线HA的斜率为，所以直