高三数学（理科）一轮复习§13.3数学归纳法（教案）.docVIP

响水二中高三数学（理）一轮复习 教案 第十三编 推理与证明 主备人 张灵芝 总第68期 §13.3数学归纳法 基础自测 1.用数学归纳法证明：“1+a+a2+…+an+1=(a≠1)”在验证n=1时，左端计算所得的项为 . 答案1+a+a2 2.如果命题P（n）对n=k成立，则它对n=k+1也成立，现已知P（n）对n=4不成立，则下列结论正确的是 （填序号）. ①P（n）对n∈N*成立；②P(n)对n＞4且n∈N*成立 ③P（n）对n＜4且n∈N*成立；④P（n）对n≤4且n∈N*不成立 答案 ④ 3.用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上 . 答案 （k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2 4.已知f(n)=+ ++…+，则下列说法有误的是 . ①f(n)中共有n项，当n=2时，f(2)=+；②f(n)中共有n+1项，当n=2时，f(2)= ++ ③f(n)中共有n2-n项，当n=2时，f(2)=+；④f(n)中共有n2-n+1项，当n=2时，f(2)= ++ 答案 ①②③ 5.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn+yn能被x+y整除”，在第二步时， . 答案 假设n=k(k是正奇数)，证明n=k+2命题成立 例题精讲 例1 用数学归纳法证明: n∈N*时,++…+=. 证明 （1）当n=1时,左边==,右边==,左边=右边,所以等式成立. （2）假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即有++…+=, 则当n=k+1时, ++…++ =+====, 所以当n=k+1时,等式也成立.由（1）（2）可知,对一切n∈N*等式都成立. 例2 试证：当n为正整数时，f(n)=32n+2-8n-9能被64整除. 证明 方法一 （1）当n=1时，f(1)=34-8-9=64,命题显然成立. （2）假设当n=k (k≥1,k∈N*)时， f(k)=32k+2-8k-9能被64整除. 由于32(k+1)+2-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+9·8k+9·9-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+64(k+1) 即f(k+1)=9f(k)+64(k+1)∴n=k+1时命题也成立.根据（1）（2）可知，对任意的n∈N*，命题都成立. 方法二 （1）当n=1时，f(1)=34-8-9=64，命题显然成立. （2）假设当n=k (k≥1,k∈N*)时，f(k)=32k+2-8k-9能被64整除. 由归纳假设，设32k+2-8k-9=64m(m为大于1的自然数)，将32k+2=64m+8k+9代入到f(k+1)中得 f(k+1)=9(64m+8k+9)-8(k+1)-9=64(9m+k+1),∴n=k+1时命题成立. 根据（1）（2）可知，对任意的n∈N*,命题都成立. 例3 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式（1+）（1+）…（1+）＞均成立. 证明 （1）当n=2时，左边=1+=；右边=.∵左边＞右边，∴不等式成立. （2）假设n=k (k≥2,且k∈N*)时不等式成立，即（1+）（1+）…（1+）＞. 则当n=k+1时，（1+）（1+）…（1+）＞ ＞·==＞==. ∴当n=k+1时，不等式也成立.由（1）（2）知，对于一切大于1的自然数n,不等式都成立. 例4 （16分）已知等差数列{an}的公差d大于0，且a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn=1-. （1）求数列{an}、{bn}的通项公式； （2）设数列{an}的前n项和为Sn，试比较与Sn+1的大小，并说明理由. 解 （1）由已知得,又∵{an}的公差大于0，∴a5＞a2,∴a2=3,a5=9. ∴d= ==2，a1=1.∴an=2n-1. 2分 ∵Tn=1-bn，∴b1=，当n≥2时，Tn-1=1-bn-1,∴bn=Tn-Tn-1=1-bn-(1-bn-1), 化简，得bn=bn-1,∴{bn}是首项为,公比为的等比数列，即bn=·=, 4分 ∴an=2n-1，bn=. 5分 (2)∵Sn==n2,∴Sn+1=（n+1）2，=. 6分 以下比较与Sn+1的大小： 当n=1时，=，S2=4，∴＜S2,当n=2时，=,S3=9,∴＜S3, 当n=3时，=,S4=16,∴＜S4,当n=4时，=,S5=25,∴＞S5. 猜想：n≥4时，＞Sn+1. 8分 下面用数学归纳法证明： ①当