第01章 函数极限与连续.ppt

第1章 函数极限与连续 这是重要极限2常用的另一种形式. 重要极限2 例10 解 令 ,则当 时, ,因此 例11 解 例12 设有本金1000元，若用连续复利计算，年利 率为8%，问5年末可得本利和为多少？ 解 设复利一年计算一次，则一年末本利和为 若复利一年计算n次，则x年末本利和为 x 年末本利和为 所以 1.3.3 无穷小的比较 两个无穷小的和、差、积都是无穷小，那么，两个无穷小的商是否仍是无穷小呢？请看下面的例子. 这些情形表明，同为无穷小，但它们趋于0的速度有快有慢，为了比较不同的无穷小趋于0的速度， 我们引入无穷小量阶的概念. 此时也称 是比 低阶的无穷小. (3)如果 ,则称 是比 阶的无穷小.记作 (2)如果 ,则称 与 是等价无穷小,记作 (1)如果 是常数),则称 是同阶无穷小. 定义 设 时为无穷小(且 ). 所以当 时, 与x是等价无穷小,即 所以当 时, 是比x高阶的无穷小,即 例13 例14 因为 同理可知,当 时, 所以当 时, 是同阶无穷小. 关于等价无穷小在求极限中的应用，有如下定理. 证 定理2 根据此定理，在求两个无穷小之比的极限时，若此极限不好求，可用分子、分母各自的等价无穷小来代替，如果选择适当，可简化运算. 用定理2求极限，需要预先知道一些等价无穷小. 一些常用的等价无穷小如下： 当 时 例15 解 例16 解 例17 解 注意： 相乘(除)的无穷小都可用各自的等价无穷小代换，但是相加(减)的无穷小的项不能作等价代换，例如 是完全错误的 1.4.1 函数连续性的概念 相应的函数的改变量（增量）: 函数的终值 与初值 之差 称为自变量的改变量，记为 1.改变量（增量）： 1.4 函数的连续性 0 当自变量由初值 变化到终值 时，终值与初值之差 称为自变量的改变量，记为 定义1： 设函数 在点 的某邻域内有定义，当自变量在点 处有增量 时，相应的函数有增量 ,如果当自变量的增量 趋于零时，函数的增量 也趋于零，即 则称函数 在点 处连续，点 称为函数的连续点 2.连续 若记 ，则 ，且当 时， 故定义1又可叙述为 注： 定义2：设函数y = f (x)在点 的某邻域内有定义，若有 ,则称函数 在点 处连续. （1）定义1与定义2是等价的, 即 由左右极限定义可定义左右连续定义 （2）由定义2可知若函数 在点 处连续，则函数 在点 处的极限一定存在，反之不一定连续 （3）当函数 在点 处连续时，求 时，只需求出 即可 定义3：若函数 满足 ，则称函 数 在点处左连续。 同理可以定义右连续 3、左右连续 4、区间连续 定义4：若函数 在（a , b）内每一点都连续 ，则称函数 在（a , b）内连续。 由定理3可知：函数 在点 处连续既左连续又右连续即 证明 y = sin x在 内连续 例1 证 对任意 有 因为 所以 故 在 内连续 定义5 若函数y = f(x)在（a , b）内每一点都连续，且在左端点a 处右连续，在右端点b处左连续，则称函数y = f (x)在[a , b]上连续。 1.4.2 函数的间断点及其分类 则一定满足以下条件 如果f(x)在点不能满足