单调性及其应用讲义分析.doc

一、【检查作业并讲评】 二、【课前热身】了解学生对本次内容的掌握情况，便于查漏补缺。 三、【内容讲解】 1利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤 （1）求（x） （2）确定（x）在（a，b）内符号 （3）若（x）0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数；若（x）0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数 2用导数求多项式函数单调区间的一般步骤 （1）求（x） （2）（x）0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （x）0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间 题型讲解 例1 求下列函数的单调区间： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 分析：求函数的单调区间的具体步骤是：①确定的定义域；②计算导数；③求出的根；④用的根将的定义域分成若干个区间,列表考察这若干个区间内的符号,进而确定的单调区间 解:(1)函数的定义域 令得,用分割定义域D,得下表: -2 1 + 0 - 0 + ↗ ↘ ↗ 的单调增区间是和,单调减区间是(-2,1) （2）函数的定义域 令得,用分割定义域D,得下表: -1 0 （0，1） 1 — 0 + 0 — 0 + ↘ ↗ ↘ ↘ 的单调增区间是和,单调减区间是和(0,1) （3）函数的定义域为，, 令得 其中不在定义域内,用分割定义域D，得下表： x (0,) (,+) _ 0 + ↘ ↗ 的单调增区间是,单调减区间是 （4 ）函数的定义域 令得,用分割定义域D,得下表: 0 2 _ 0 + 0 _ ↘ ↗ ↘ 的单调增区间是和,单调减区间是(0,2) 点评：一般情况下，函数在它的定义区间上不是单调的，对可导函数而言，它的单调减少和单调增加的区间分界点应是其导娄数符号正负交替的分界点，即在分界点处，为此，我们可以用使函数导数为0的点来划分函数的单调区间 例2 设f（x）=x3－3ax2+2bx在x=1处有极小值－1，试求a、b的值，并求出f（x）的单调区间 剖析：由已知x=1处有极小值－1，点（1，－1）在函数f（x）上，得方程组解之可得a、b 解： （x）=3x2－6ax+2b，由题意知 即 解之得a=，b=－ 此时f（x）=x3－x2－x，（x）=3x2－2x－1=3（x+）（x－1） 当（x）0时，x1或x－， 当（x）0时，－x1 ∴函数f（x）的单调增区间为（－∞，－）和（1，+∞），减区间为（－，1） 点评：极值点、最值点这些是原函数图象上常用的点 例3 已知函数f（x）=ax3+3x2－x+1在R上是减函数，求实数a的取值范围 分析：在R上为减函数，则导函数在R上恒负 解：（x）=3ax2+6x－1 （1）当（x）0时，f（x）为减函数 3ax2+6x－10（x∈R），a0时，Δ=36+12a0，∴a－3 ∴a－3时，（x）0，f（x）在R上是减函数 （2）当a=－3时，f（x）=－3（x－）3+ 由y=x3在R上的单调性知：a=－3时，f（x）在R上是减函数，综上，a≤－3 点评：f（x）在R上为减函数（x）≤0（x∈R） 例4 若函数y=x3－ax2+（a－1）x+1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，试求实数a的取值范围 分析：用导数研究函数单调性，考查综合运用数学知识解决问题的能力 解： （x）=x2－ax+a－1=0得x=1或x=a－1， 当a－1≤1，即a≤2时，函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，不合题意 当a－11，即a2时，函数f（x）在（－∞，1）上为增函数，在（1，a－1）上为减函数，在（a－1，+∞）上为增函数 依题意，当x∈（1，4）时，（x）0，当x∈（6，+∞）时，（x）0，∴4≤a－1≤6 ∴5≤a≤7∴a的取值范围为［5，7］ 点评：若本题是“函数f（x）在（1，4）上为减函数，在（4，+∞）上为增函数”我们便知x=4两侧使函数（x）变号，因而需要讨论、探索，属于探索性问题 例5 设恰有三个单调区间，试确定的取值范围，并求出这三个单调区间 解：由f(x)的解析式得， 若a0, 则 , f(x) 单调,矛盾； 若a=o，则 ,f(x)单调； 若a0, 则 由此可知，当a0时，f(x)恰有三个单调区间，其中减区间为：,,增区间 例6 已知x1，证明不等式xln(1+x) 分析：构造辅助函数f(x)=x-ln(1+x)，只需证明f(x)在(1,)上递增即可 证明：设 f(x)=x-ln(1+x),x1，则 在上是增函数 又f(1)=1-ln21-lne=0 即 四、【巩固练习】 1 函数y=x2（x－3）的减区间是 A（－∞，0） B（2，+∞） C（0，2）