34基本不等式分析.ppt

这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。 思考：这会标中含有怎样的几何图形？ 思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？ a b 1、正方形ABCD的 　　面积S=＿＿＿＿＿ ２、四个直角三角形的 　　面积和S’ =＿＿ ３、S与S’有什么　　　 　　样的不等关系？ 探究１： S_____S′ 问：那么它们有相等的情况吗？ A D B C E F G H b a 重要不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有 当且仅当a=b时，等号成立。 A B C D E(FGH) a b 思考：你能给出不等式 的证明吗？ 证明：（作差法） 例1.已知x0, y0, xy=24, 求4x+6y的最小值，并说明此时x,y的值． 例1：(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？ 解：如图设BC=x ，CD=y ， 则xy=100，篱笆的长为2(x+y)m. 当且仅当 时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m. 此时x=y=10. x=y A B D C 例1：(2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 解：如图，设BC=x ，CD=y ， 则 2(x + y)= 36 , x + y =18 矩形菜园的面积为xy m2 得 xy ≤ 81 当且仅当x=y时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为9m时， 菜园面积最大，最大面积是81m2 即x=y=9 A B D C 变式：如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？ 解：如图，设BC=x ，CD=y ， 则篱笆的长为 矩形花园的面积为xy m2 A B D C 得 144≥2xy 当且仅当 时，等号成立 因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时， 花园面积最大，最大面积是72m2 即 xy ≤ 72 即x=12，y=6 x +2y= 24 x=2y 变式：如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？ 解：如图，设BC=x ，CD=y ， 则篱笆的长为 矩形花园的面积为xy m2 A B D C x + y不是 定值. 2 =24为 得 2xy ≤ 144 当且仅当 时，等号成立 因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时， 花园面积最大，最大面积是72m2 即 xy ≤ 72 即x=12，y=6 x +2y= 24 x=2y 变式：如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？ 分析：设AB=x ，BC=24－2x ， A B D C 变式：如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？ 解：设AB=x ，BC=24－2x ， 矩形花园的面积为x(24－2x) m2 当且仅当2x=24－2x,即x=6时，等号成立 因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时， 花园面积最大，最大面积是72m2 (其中2x+(24-2x)=24 是定值) 变式：如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？ 解：设AB=x ，BC=24－2x ， 矩形花园的面积为x(24－2x) m2 因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时， 花园面积最大，最大面积是72m2 当x=6时，函数y取得最小值为72