42矩阵的特征值和特征向量—线性代数(吴赣昌-第四)分析.ppt

第四章 矩阵的特征值 * 第二节 矩阵的特征值和特征向量 二、特征值和特征向量的性质 一、特征值和特征向量 一、特征值与特征向量 设 A 是一个 n 阶方阵, 若存在实数? 和n 维非零列向量, 使得 注意 （1） 是方阵 （2）特征向量 是非零列向量 （4）一个特征向量只能属于一个特征值 （3）方阵 的与特征值 对应的特征向量不唯一 定义1 为方阵 的对应于特征值 的一个特征向量。 则称 是方阵 的一个特征值， 非零向量 满足 齐次线性方程组 有非零解 (2) 系数行列式 (2)的所有非零解向量都是对应于 的特征向量. (1) 是关于 的一个多项式，称为矩阵 的特征多项式。 定义2 已知 数 ，则 为A的特征矩阵 称为矩阵 的特征方程。 推论 设 n 阶方阵 特征值为 , 则 又 矩阵A 的迹, 记作tr(A) 3、特征值与特征向量的求法 (1)：写出矩阵 A的特征方程 ， 求出特征值 . (2)：根据 得到 A 对应 的特征向量. 设 的基础解系为 A 对应 的全部特征向量为 其中 为任意不全为零的数. 解 第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值. 的特征值和全部特征向量. 特征值为 第二步：对每个特征值 代入齐次线性方程组 求非零解。 例1 齐次线性方程组为 得基础解系 是对应于 的全部特征向量. 当 时， 系数矩阵 自由未知量: 令 得基础解系: ) 是对应于 的全部特征向量. 齐次线性方程组为 当 时， 二、特征值与特征向量的性质 性质1： 矩阵 和 的特征值相同。 注意：特征值相同并不意味着特征向量相同。 设 是方阵 A 的特征值，对应的一个特征向量 . 证明 (1) 是 kA 的特征值，对应的特征向量仍为 p. (2) 是 的特征值，对应的特征向量仍为 p. (3) 当 A 可逆时， 是 的特征值，对应的 特征向量仍为 p. 证 性质2 设 是方阵 A 的特征值， 则 是 的特征值. 的特征值. 如果 A 可逆，则 的特征值. 是 是 推广 例2 设n阶方阵A有n个特征值1，2，….，n，求|A+3E|. 解 所以，A+3E的特征值： 4，5，…..，n+3 方阵 A 是奇异矩阵 A有一个特征值为零. 性质3 证 由 直接得证. 设 是 阶方阵 , 若 性质4 有一个成立, 则 所有特征值的 模小于1, 即 . 或 设3阶矩阵A的三个特征值为 求 解 A的特征值全不为零，故A可逆。 的三个特征值为 计算得 因此， 例3 正交矩阵的实特征值的绝对值为1 性质4 证 设 为正交矩阵, 是方阵 对应于特征值 的特征向量,则 .由于 又 , 故 , 于是 即 n 阶方阵 A 互不相等的特征值 性质5 对应的特征向量 线性无关. 证 已知 采用归纳法 当m=1时, 结论成立. 假设m-1时, 结论成立. 现设有常数 使得 用A 左乘上式两端得 故 由式(2) - (1) 得 由归纳假设知, 线性无关, 故 由于 互不相等，所以 代入(2)式得 又 ，从而 因此, 向量 线性无关. 注意 １.　属于不同特征值的特征向量是线性无关的． ２.　属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特