42矩阵的特征值与特征向量分析.ppt

例4 小结 作业 P137 A 7 (4) 8 * * §4.2　矩阵的特征值与特征向量 说明 （一）矩阵的特征值 是一个特征值，又称特征根 矩阵A的迹 例1 解 例2 设 求A的特征值与特征向量． 解 得基础解系为： 补例 求n阶数值矩阵 的特征值与特征向量． 例3 试证：n阶矩阵A是奇异矩阵的充要条件是 A有一个特征值为零。 n阶矩阵A可逆的充要条件是A的任一特征值不为零。 必要性：|A|=0 充分性：设A有一个特征值为0，对应特征向量为y，则 Ay=0y=0 （y不为0） 所以，齐次线性方程组Ax=0有非零解y。由此可知，|A|=0 |0E-A|=0 证明：P129 补例 证明：若 是矩阵A的特征值， 是A的属于 　的特征向量，则 证明 再继续施行上述步骤 次，就得 （二）特征值与特征向量的基本性质 补例： 定理4.3 定理4.4 证明：数学归纳法 P128 5. 注意 １.　属于不同特征值的特征向量是线性无关的． ２.　属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量． ３.　矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值 而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值． 补例： 求矩阵特征值与特征向量的步骤： 4. 设为方阵A的一个特征值,则由方程可求得非零解 ,那么就是A的对应于特征值的特征向量.