几何题中添加辅助线的作用.docVIP

浅谈几何解题中添加辅助线的作用 胡晓 潘集区实验中学 辅助线的添加是几何解题的关键和难点，进行几何解题时，准确的添加辅助线可以使问题迎刃而解，现把几何解题中添加辅助线的作用归纳如下。 一、揭示图形中隐含的性质 当条件与结论间的逻辑关系不明朗时，通过适当添加辅助线，将条件中隐含的有关图像性质充分显示出来，从而扩大已知条件，以便取得有关过渡性的推论，达到推导出结论的目的。 例证：如图1，在△ABC中，BD 、CE分别是AC、AB边上的高，M、N分别是DE、BC的中点，求证：MN⊥DE 分析：本题利用添置的两条辅助线EN、DN把题中隐含的直角三角形斜边上中线的性质转化为直接条件EN = DN = BC 证明：分别连接EN、DN （作图） ∵ N是BC的中点，CE ⊥AB,DB⊥ AC （已知） ∴ EN是Rt△BEC斜边上的中线 DN是Rt△CDB斜边上的中线 ∴ EN = BC （直角三角形斜边上中线的性质） DN = BC （直角三角形斜边上中线的性质） ∴ EN = DN （等量代换） 又∵M是ED的中点， （已知） ∴MN⊥DE （等腰三角形三线合一性质） 图1 二、聚拢集中原则 通过添置适当的辅助线，将图形中分散、远离的元素，通过变换和转化，使它们相对集中，聚拢到有关图形上来，使题设条件与结论建立逻辑联系，从而导出要求的结论。 例证：已知在四边形ABCD中，AB = CD,点F和E分别为AD、BC边上的中点，延长BA、CD，分别交EF的延长线于P、Q, 求证：∠APF =∠ DQF 分析:本题中的条件与结论中的有关元素位置比较分散，通过平行移动，可使有关元素集中在 一起，方便解题。如图2，将AB、CD分别平移到FG、FH,由△BEG≌△CEH可可求EF是等腰三角形FGH底边上的中线，再由∠GFE =∠ HFE推出∠APF =∠ DQF。 证明：如图，过点F作FG∥AB,FH∥DC, 过点B点C分别作BG∥AD,CH∥AD,交FG、FH于G、H点，连接GE、HE。 ∵ FG∥AB BG∥AD CH∥AD FH∥DC, ∴ 四边形ABGF和四边形FHCD都是平行四边形 ∴ AB = FG AF = BG FD = CH FH = CD 又∵ F和E分别为AD、BC的中点， AB = CD ∴ AF = FD BE = CE FG = FH ∴ BG = CH ∵ BG∥AD,CH∥AD ∴ BG∥HC ∴ ∠GBE = ∠ HCE ∴ △BEG ≌ △CEH (SAS) ∴ GE = HE ∴ △FGE ≌ △FHE (SSS) ∴ ∠GFE =∠ HFE 又∵ FG∥AB, FH∥DC ∴ ∠GFE =∠ APF ∠Q =∠ HFE ∴ ∠APF =∠ DQF 由以上例子可以看出，通过平移，能使分散的已知元素和未知元素得以集中，从而便于解题。 三、发挥特殊点的作用 在题设条件所给的图形中，对尙未直接显示出来的各元素，通过添置辅助线，将那些特殊点、特殊线、特殊图形的性质恰当地揭示出来，并充分发挥这些特殊点线的作用，达到化难为易、导出结论的目的。 例：如图3，两圆⊙1 ⊙2相交于A和B两点，经过交点B的任一直线和两圆分别相交于C、D两点，求证：AC ：AD为定值。 分析：本题通过物色特殊点去求得AC ：AD为定值。即过点B作EF⊥BA分别交两圆于E、F点，此时有AE:AF = d1 ：d2（d1、d2分别是两圆的直径），故只需证AC:AD = d1 ：d2即可。 证明：如图4，延长A⊙1 ，A⊙2分别交⊙1 ⊙2于E、F点，连接BE、BF 则∠ABE ＋∠ ABF = 1800 ∴ E、B、F三点共线 ∵ ∠ACD = ∠ AEF ∠ADC = ∠ AEF ∴ △ACD ∽ △AEF ∴ AC ：AD = AE:AF = d1 ：d2 (定值) （ d1、d2分别是两圆的直径） 四、构造图形的作用