函数图象解题方法与技巧.docVIP

对于二次函数y=a(x-h)2 +k(a≠0)，一次函数y=kx+b(k≠0)，反比例函数y=(k≠0)，若将它们的函数图象向上(或下)平移m个单位，平移后的解析式分别为y=a(x-h)2+k±m，y=kx+b±m，y=±m；若将它们的函数图象向左(或右)平移n个单位，平移后的解析式分析为y=a(x-h±n) 2+k，y=( x±n)+b，y=。简言之：上加下减，左加右减(注意在上、下，左、右不同的平移中，加减的位置不同)。根据这一法则，可以顺利解答各类平移问题。 一、求平移后的解析式 例1把抛物线y=3x2向上平移2个单位，再向右平稳3个单位，所得抛物线是( )。 (A) y=3(x+3) 2-2 (B) y=3(x+3) 2+2 (C) y=3(x-3) 2-2 (D) y=3(x-3) 2+2 提示：根据法则，选 (D) 例2 在平面直角坐标系中，直线y=kx+b(k、b为常数，k≠0,b0)可以看成将直线y=kx沿y轴向上平行移动b个单位面得到，那么将直线y=kx沿x轴向右平行移动m个单位(m0)得到的直线方程是 。 提示：根据法则，平移后的直线方程为y=kx-km 二、求平移前的解析式 例3，把抛手线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x2-3x+5，则有( )。 (A) b=3,c=7 (B) b= -9, c= -15 (C) b=3, c=3 (D) b= -9, c=21 分析：本题若先将y=x2+bx+c化为顶点式，按平移规律解答，较为繁琐，若采用逆推法，即将y=x2-3x+5［顶点式为y=(x-)2+］向左平移3个单位，再向上平移2个单位反推回去，即可得原二次函数图象，较为简单，因此，y=(x-+3)2++2，化简得y=x2+3x+7。选(A) 三、求满足某些条件的平移 例4 把抛物线y= -3(x-1)2向上平移k个单位，所得抛物线与x轴交于A(x1,0)、(x2,0)两点，已知x12+x22=，则平移后的抛物线解析式为 。 分析：根据法则，平移后的解析式为：y= -3(x - 1)2+k，即y= -3x2+6x+k-3。 由x12+x22=(x1+x2)2- 2x1x2=，得()2 -2×=，∴k=。 ∴y= -3(x -1) 2 +， 即y= -3x 2 +6x -。 四、求过定点的平移 例5函数y=3x+1的图象沿x轴正方向平行移动 年单位，使它过点(1，-1)。 分析：将函数y=3x+1的图象沿x轴正方向平移m个单位，可以看作向右平移m个单位，根据法则，平移后的解析式为y=3(x-m)+1，由平移后的图象过点(1，-1)可得m=。 五、求平移后的函数图象 例6 (2001，宿迁)函数图象y=+1的图象是( ) 。 提示：把函数y=的图象向中平移1个单位，再向右平移1个单位后可得 y=+1，本题选(C)。 ［另注：根据平移法则，(A)的解析式为y=+1；(B)的解析式为y=；(D)的解析式为y=+1］。 六、根据信息的迁移，求平移后的解析式 例7，阅读以下材料并完成后面的问题。 将直线y=2x-3向右平移3个单位，再向上平移1个单位，求平移后的直线的解析式。 解：在直线y=2x-3上任取两点A(1，-1)，B(0，-3)。由题意得知： 点A向右平移个单位得A ′(4，-1)；再向上平移1个单位得A″(4,0)。 点B向右平移3个单位得B′(3，-3)；再向中平移1个单位得B″(3,-2)。 设平移后的直线的解析式为y=kx+b,则点A ″(4,0)，B″(3,-2)在该直线的解析式为y=2x-8. 根据以上信息，解答下列问题： 将二次函数y=-x2+2x+3的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后的抛物线的解析式(平移后抛物线形状不变) 解：给出两种解法： 1)在抛物线y=-x2+2x+3上任取两点A(3,0)，B(1，4)，由题意知： 点A向左平移1个单位得A′(-1，3)； 再向下平移2个平移2个单位得A″(-1,1)。 点B向左平移1个单位得B(0,4)； 再向下平移2个单位得B″(0，2)一。 设平移后的抛物线的解析式为y=-x2+2x+c，则A″(-1，1)， B″(0，2)在抛物线上，可得 解得b=0,c=2. 2) 由于y=-x2+2x+3=-(x-1) 2+3，根据平移法则，可知平移后的解析式为: y=-x2+2 一般地，如果a（a大于0，且a不等于1）的b次幂等于N