函数概念(经典课件).docVIP

§３ 函数概念 教学内容：函数的概念、表示、四则运算、复合函数、反函数以及初等函数。 教学目的：使学生深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义；熟悉函数的各种表示方法；牢记基本初等函数的定义、性质及其图象；会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系。 教学重点：函数的概念。 教学难点：初等函数复合关系的分析。 教学方法：课堂讲授，辅以提问、练习、部分内容可自学。 教学学时：2学时。 引言：我们知道，数学分析研究的对象是实数集上的函数，前两节我们介绍了实数以及实数集的相关概念和性质。本节和下节课我们再对中学数学中已有了初步的了解的函数进行简单回顾，为便于今后的学习，将对一些问题作进一步讨论。 一、函数的定义： １．定义１ 设，如果存在对应法则，使对，存在唯一的一个数与之对应，则称是定义在数集Ｄ上的函数，记作(). 函数在点的函数值，记为，全体函数值的集合称为函数的值域，记作。即 。 ２．几点说明： （1）函数定义的记号中“”表示按法则建立Ｄ到Ｍ的函数关系，表示这两个数集中元素之间的对应关系，也记作。习惯上称自变量，为因变量。 （2） 函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域。当对应法则和定义域确定后，值域便自然确定下来。因此，函数的基本要素为两个：定义域和对应法则。所以函数也常表示为：. 由此，我们说两个函数相同，是指它们有相同的定义域和对应法则。 例如：1） （不相同，对应法则相同，定义域不同） 2） （相同，对应法则的表达形式不同）。 （3）函数用公式法（解析法）表示时，函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量的全体，通常称为存在域（自然定义域）。此时，函数的记号中的定义域Ｄ可省略不写，而只用对应法则来表示一个函数。即“函数”或“函数”。 （4）“映射”的观点来看，函数本质上是映射，对于，称为映射下的象。称为 的原象。 （5）函数定义中，，只能有唯一的一个值与它对应，这样的函数称为“单值函数”，若对同一个值，可以对应多于一个值，则称这种函数为多值函数。本书中只讨论单值函数（简称函数）。 二、函数的表示方法： 1 主要方法：解析法（公式法）、列表法和图象法。 2 可用“特殊方法”来表示的函数。 分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示。 例如　　，（符号函数） （借助于Sgnx可表示即）。 （２）用语言叙述的函数：（注意：以下函数不是分段函数） 例 １）（取整函数：不超过的最大整数） ２）（狄利克雷函数，Ｄirichlet，德国） ３）（黎曼函数，Riemman，德国） 三、函数的四则运算： 给定两个函数，记，并设，定义与在Ｄ上的和、差、积运算如下： ；；. 若在Ｄ中除去使的值，即令，可在上定义与的商运算如下；. 注：（１）若，则与不能进行四则运算。 （２）为叙述方便，函数与的和、差、积、商常分别写为：. 四、复合函数： 定义（复合函数） 设有两个函数 记 则对每一个，可通过函数对应内唯一的一个值，而又通过函数对应唯一的一个值.这就确定了一个定义在上的函数，它以为自变量，为因变量，记作 或 称为函数和的复合函数，并称为外函数，为内函数，为中间变量。 如： 又如：与不能进行复合 2. 说明： （１）复合函数可由多个函数相继复合而成。每次复合，都要验证能否进行？在哪个数集上进行？复合函数的最终定义域是什么？ 例如：，复合成：. （２）不仅要会复合，更要会分解。把一个函数分解成若干个简单函数，在分解时也要注意定义域的变化。 ① ② ③ 五、反函数： １ 引言： 在函数中把叫做自变量，叫做因变量。但需要指出的是，自变量与因变量的地位并不是绝对的，而是相对的，例如： 那么对于来讲是自变量，但对来讲，是因变量。 习惯上说函数中是自变量，是因变量，是基于随的变化现时变化。但有时我们不公要研究随的变化状况，也要研究随的变化的状况。对此，我们引入反函数的概念。 ２ 反函数概念： 设函数。满足：对于值域中的每一个值，Ｄ中有且只有一个值，使得，则按此对应法则得到一个定义在上的函数，称这个函数为的反函数，记作 或. ３ 注释： （a） 并不是任何函数都有反函数，从映射的观点看，函数有反函数，意味着是Ｄ与之间的一个一一映射，称为映射的逆映射，它把； （b） 函数与互为反函数，并有: （c） 在反函数的表示中，是以为自变量，为因变量。若按习惯做法用做为自变量的记号，作为因变量的记号，则函数的反函数可以改写为 . 应该注意，尽管这样做了，但它们的表示同一个函数，因为其定义域和对应法则相同，仅是所用变量的记号不同而已。但它们的图形在同一坐标系中画出时有所差别。 六、初等函数： 1．基本初等