11静电场课后答案(上海交大)第三版.docVIP

习题11 11-1．直角三角形的点上，有电荷，点上有电荷，试求点的电场强度(设，)。 解：在C点产生的场强：， 在C点产生的场强：， ∴点的电场强度：； 点的合场强：， 方向如图：。 11-2．用细的塑料棒弯成半径为的圆环，两端间空隙为，电量为的正电荷均匀分布在棒上，求圆心处电场强度的大小和方向。 解：∵棒长为， ∴电荷线密度： 可利用补偿法，若有一均匀带电闭合线圈，则圆心处的合场强为0，有一段空隙，则圆心处场强等于闭合线圈产生电场再减去长的带电棒在该点产生的场强，即所求问题转化为求缺口处带负电荷的塑料棒在点产生的场强。 解法1：利用微元积分： ， ∴； 解法2：直接利用点电荷场强公式： 由于，该小段可看成点电荷：， 则圆心处场强：。 方向由圆心指向缝隙处。 11-3．将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为，四分之一圆弧的半径为，试求圆心点的场强。 解：以为坐标原点建立坐标，如图所示。 ①对于半无限长导线在点的场强： 有： ②对于半无限长导线在点的场强： 有： ③对于圆弧在点的场强：有： ∴总场强：，，得：。 或写成场强：，方向。 11-4．一个半径为的均匀带电半圆形环，均匀地带有电荷，电荷的线密度为，求环心处点的场强E。 解：电荷元dq产生的场为； 根据对称性有：，， 方向沿轴正向。即：。 11-5．带电细线弯成半径为的半圆形，电荷线密度 为，为一常数，为半径与轴 所成的夹角，如图所示．试求环心处的电场强度。 解：如图，， 考虑到对称性，有：； ∴， 方向沿轴负向。 11-6．一半径为的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为，求球心处的电场强度。 解：如图，把球面分割成许多球面环带，环带宽为，所带电荷：。 利用例11-3结论，有： ∴， 化简计算得：，∴。 11-7．图示一厚度为的“无限大”均匀带电平板，电荷体密度为。求板内、外的场强分布，并画出场强随坐标变化的图线，即图线(设原点在带电平板的中央平面上，轴垂直于平板)。 解：在平板内作一个被平板的中间面垂直平分的闭合圆柱面为高斯面， 当时，由和， 有：； 当时，由和， 有：。图像见右。 11-8．在点电荷的电场中，取一半径为的圆形平面(如图所示)， 平面到的距离为，试计算通过该平面的的通量. 解：通过圆平面的电通量与通过与为圆心、为半径、圆的平面 为周界的球冠面的电通量相同。 【先推导球冠的面积：如图，令球面的半径为，有， 球冠面一条微元同心圆带面积为： ∴球冠面的面积： 】 ∵球面面积为：，通过闭合球面的电通量为：， 由：，∴。 11-9．在半径为R的“无限长”直圆柱体内均匀带电，电荷体密度为ρ，求圆柱体内、外的场强分布，并作E~r关系曲线。 解：高斯定律，长为的高斯。 1）当时，，有； （2）当时，，则：； 即：； 图见右。 11-10．半径为和（）的两无限长同轴圆柱面，单位长度分别带有电量和，试求：（1）；（2）；（3）处各点的场强。解：利用高斯定律：。 1）时，高斯面内不包括电荷，所以：； （2）时，利用高斯定律及对称性，有：，则：； （3）时，利用高斯定律及对称性，有：，则：； 即：。 11-11．一球体内均匀分布着电荷体密度为的正电荷，若保持电荷分布不变,在该球体中挖去半径为的一个小球体，球心为，两球心间距离，如图所示。求： （1）在球形空腔内，球心处的电场强度； （2）在球体内P点处的电场强度，设、、三点在同一直径上，且。 解：利用补偿法，可将其看成是带有电荷体密度为的大球和带有电荷体密度为的小球的合成。 （1）以为圆心，过点作一个半径为的高斯面，根据高斯定理有： ，方向从指向； （2）过点以为圆心，作一个半径为的高斯面。根据高斯定理有： ，方向从指向， 过点以为圆心，作一个半径为的高斯面。根据高斯定理有： ， ∴，方向从指向。 11-12．设真空中静电场的分布为，式中为常量，求空间电荷的分布。 解：如图，考虑空间一封闭矩形外表面为高斯面， 有： 由高斯定理：， 设空间电荷的密度为，有： ∴，可见为常数。 11-13．如图所示，一锥顶角为的圆台，上下底面半径分别为和，在它的侧面上均匀带电，电荷面密度为，的电势．(以无穷远处为电势零点) 解：以顶点为原点，沿轴线方向竖直向下为轴，在侧面上取环面元，如图示，易知，环面圆半径为：，环面圆宽： ， 利用带电量为的圆环在垂直环轴线上处电势的表达式： ， 有：， 考虑到圆台上底的坐标为：，， ∴。 11-14．电荷量Q均匀分布在半径为R的球体内，试求：离球心处（）P点的电势。 解：利用高斯定律：可求电场的分布。 （1）时，；有：； （2）时，；有：； 离处（）的电势，即： 。 11-15．图示为一个均匀带电的球壳，其电荷体密度为，球壳内表面半径为，外表面半径为．设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的