函数积分摘要.ppt

本章小结 柯西定理 * 典型例题 例1 解 * 由柯西积分公式 * 例2 解 由柯西积分公式 * 例3 解 由柯西积分公式 * 例４ 解 根据柯西积分公式知, * 例5 解 * 例5 解 * 由闭路复合定理, 得 例5 解 * 例1 解 6 * * 根据复合闭路定理 * * 例7 解 * * 例8 解 由柯西定理得 由柯西积分公式得 * * 例9 解 * 根据复合闭路定理和高阶导数公式, * * 思考题 解析函数的高阶导数公式说明解析函数的导数与实函数的导数有何不同? * 思考题答案 这一点与实变量函数有本质的区别. 有奇点 无奇点 分子为1，分母（z-a）n形式 （重要结论） 柯西积分公式 分母1阶（z-a），分子函数 （积分公式） 分母n阶（z-a）n，分子函数 （高阶导数公式） 有1个奇点 有多个奇点 用复连通域柯西定理转换成多个单奇点和的情况 直接柯西定理 * 例3 解 根据柯西定理得 * * 定理一 由定理一可知: 解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关, 如下页图 1. 两个主要定理: （二）不定积分 * * 定理二 证 利用导数的定义来证. * 由于积分与路线无关, * * 此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似. [证毕] * 2. 原函数的定义: 原函数之间的关系: 证 * 那么它就有无穷多个原函数, 根据以上讨论可知: [证毕] * 3. 不定积分的定义: 定理三 类似于牛顿-莱布尼兹公式 * 证 根据柯西-古萨基本定理, [证毕] 说明: 有了以上定理, 复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算. * 典型例题 例1 解 由牛顿-莱布尼兹公式知, * 例2 解 使用了微积分学中的“凑微分”法 * 例3 解 由牛顿-莱布尼兹公式知, * 例3 另解 此方法使用了微积分中“分部积分法” * 课堂练习 答案 * 例4 解 * 奇点：复变函数不解析的点 若f z 在z b 不解析（或没有定义），而在z b的无心邻域 0 ?z?b ? R内解析，则z b为f z 的孤立奇点。 含孤立奇点的区域，可将其每个奇点的有限小邻域挖掉，使原区域变为复通区域 （三）复通区域情形 有时，所研究的函数在区域上并非处处解析 * 沿着一条简单曲线C有 两个相反的方向，其中一个 方向是：当观察者顺此方向 沿C前进一周时，C的内部一 直在C的左方，即“逆时针”方向，称为正方向；另一个方向是：当观察者顺此方向沿C前进一周时，C的外部一直在C的左方，即“顺时针”方向，称为负方向。 区域境界线正方向： * 在 l 围成的区域中含f z 的孤立奇点?，则可引入曲线l1将此奇点挖掉，在余下的区域 一复连通区域 中， f z 解析。 由柯西定理 或 又 l与l1方向相反，但与- l1方向相同。 * 多连通域柯西定理 设B是以 边为界的有界n+1连通区域，其中l1，l2，…，ln是简单光滑闭曲线l内部互相外离的n条简单光滑闭曲线。若f z 在 上连续，在B内解析，则有 其中C取关于区域B的正向，或写为： * 例1 解 依题意知, * 根据复合闭路定理, * 例2 解 圆环域的边界构成一条复合闭路, 根据闭路复合定理, * 例3 解 * 由复合闭路定理, 此结论非常重要, 用起来很方便, 因为?不必是圆, a也不必是圆的圆心, 只要a在简单闭曲线?内即可. * 例4 解 由上例可知 * 柯西定理总结 闭单通区域上的解析函数沿境界线的积分为零。 闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向的积分和为零。 闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向的积分等于沿所有内境界线逆时针方向的积分的和。 固定起点和终点，积分路径的连续形变不改变积分 * 2.3 柯西积分公式 柯西积分公式: 若f z 在闭单通区域B上解析，l为B境界线，?为B内的任一点，那么 证明：由于 只需证明 * 如果l是圆周z ? +reiθ， 这就是说，一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周的平均值。 若f z 在l所围区域上存在奇点，这就要考虑挖去奇点后的复通区域。在复通区域上f z 解析，显然柯西公式仍然成立，只要将l理解为所有境界线，并且其方向均取正向。 定理：解析函数f z 的导数仍为解析函数，它的n阶导数为： 其中l为解析区域内围绕z0的任何一条正向简单闭曲线。 Morera定理： Cauchy定理的逆定理）设f z 在区域G中连续，如果对于G中的任何闭合围道l，都有 ，则f z 在G内解析。 模数定理：f z 在某个闭区域上解析，则 |f z | 只能在境界线上取极大值。 Liouville定理：如 f z 在全平面上解析，并且是有界的，即 |f z | ? N，则 f z 必为常数。 * *