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第一章集合与简易逻辑 概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结 一．集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如 （1）设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=，若，，则P+Q中元素的有________个。 （2）设，，，那么点的充要条件是________ 二．遇到时，你是否注意到“极端”情况：或；同样当时，你是否忘记的情形？要注意到是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。如 集合，，且，则实数＝___. 三．对于含有个元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 如 满足集合M有______个。 四．集合的运算性质： ⑴； ⑵； ⑹； ⑺. 五．研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。如：—函数的定义域；—函数的值域；—函数图象上的点集，如 （1）设集合，集合N＝，则___ （答：）； （2）设集合，，，则_____ 六．数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如： 已知函数在区间上至少存在一个实数，使，求实数的取值范围。 七.复合命题真假的判断。“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”。如： 在下列说法中：⑴“且”为真是“或”为真的充分不必要条件； ⑵“且”为假是“或”为真的充分不必要条件； ⑶“或”为真是“非”为假的必要不充分条件； ⑷“非”为真是“且”为假的必要不充分条件。 其中正确的是__________ 八．四种命题及其相互关系。若原命题是“若p则q”，则逆命题为“若q则p”；否命题为“若﹁p 则﹁q” ；逆否命题为“若﹁q 则﹁p”。 提醒： （1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价； （2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”； （3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定； （4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“”判断其真假，这也是反证法的理论依据。 （5）哪些命题宜用反证法？ 如： （1）“在△ABC中，若∠C=900，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为__________ （2）已知函数，证明方程没有负数根。 九．充要条件。关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若，则A是B的充分条件；若，则A是B的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件。如： （1）给出下列命题： ① 实数是直线与平行的充要条件； ② 若是成立的充要条件； ③ 已知，“若，则或”的逆否命题是“若或则”； ④“若和都是偶数，则是偶数”的否命题是假命题 。 其中正确命题的序号是_______ （2）设命题p：；命题q:。若┐p是┐q的必要而不充分的条件，则实数a的取值范围是 十．一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为的形式，若,则；若,则；若,则当时，；当时，。如 十一．一元二次不等式的解集（联系图象??。尤其当和时的解集你会正确表示吗？设,是方程的两实根，且，则其解集如下表： 或或RRR如解关于的不等式：。 十二．对于方程有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数是否为0，其次若，则一定有。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时，你是否注意到同样的情形？ 如：（1）对一切恒成立，则的取值范围是_______ （2）关于的方程有解的条件是什么？(答：，其中为的值域)，特别地，若在内有两个不等的实根满足等式，则实数的范围是_______. 十三．一元二次方程根的分布理论。方程在上有两根、在上有两根、在和上各有一根的充要条件分别是什么？ 如实系数方程的一根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，则的取值范围是_________ 十四．二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程的两个根即为二次不等式的解集的端点值，也是二次函数的图象与轴的交点的横坐标。 如（1）不等式的解集是，则=__________ （2）不等式对恒成立，则实数的取值范围是_______