“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题及参考答案.docVIP

中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题参考答案 题 号 一 二 三 总 分 1～5 6～10 11 12 13 14 得 分 评卷人 复查人 答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答. 2．解答书写时不要超过装订线. 3．草稿纸不上交. 一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分） 满足 ，则的值为（ ）． （A）7 （B） （C） （D）5 【答】（A） 解：因为，≥0，由已知条件得 ， ， 所以 7． 另解：由已知得：，显然，以为根的一元二次方程为，所以　 故＝ 2．把一枚六面编号分别为16的质地均匀的正方体骰子投，正面朝上的编号二次函数与x轴有两个不同交点的概率是（ ） （A） （B） （C） （D）6×6＝36，即可以得到36＝＞0，即＞4. 通过枚举知，满足条件的有17对. 故. 3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( )． （A）6条 （B） 8条 （C）10条 （D）12条 【答】（B） 解：如图，大圆周上有4个不同的点A，B，C，D，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E，F中，至少有一个不是四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，则它与A，B，C，D的连线中，至少有两条不同于A，B，C，D的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条． 当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线． 所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条． 4．已知是半径为1的圆的一条弦，且．以为一边在圆内作正△，点为圆上不同于点A的一点，且，的延长线交圆于点，则的长为（ ）． （A） （B）1 （C） （D）a 【答】（B） 解：如图，连接OE，OA，OB． 设，则 ． 又因为， 所以≌，于是． 另解：如图，作直径EF，连结AF，以点B为圆心，AB为半径 作⊙B，因为AB＝BC＝BD，则点A，C，D都在⊙B 上， 由 所以 5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（ ）． （A）2种 （B）3种 （C）4种 （D）5种 【答】（D） 解：设是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列． 首先，对于，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾． 又如果（1≤i≤3）是偶数，是奇数，则是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数． 所以只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件： 2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3； 4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1． 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） ．若关于x的方程有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围是 ． 【答】，或． 解：由，得， 依题意有 解得，，或． 7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是 分钟． 【答】4． 解：设18路公交车的速度是米/分，小王行走的速度是米/分，同向行驶的相邻两车的间距为米． 每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则 ． ① 每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则． 　② 由①，②可得 ，所以 ． 即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟． 8．如图，在△中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点， AD是∠BAC 的平分线，MF∥AD，则FC的长为 ． 【答】9． 解：如图，设点N是AC的中点，连接MN，则MN∥AB． 又，所以 ， 所以 ． 因此 9． 另解：如图，过点C作AD的平行线交BA的延长线为E，延长MF交 AE于点N. 则 所以.　又，所以四边形是等腰梯形， 即 9．△ABC中，AB＝7，BC＝8，CA＝9，过△ABC的内切圆圆心I作DE∥BC，分别与AB，AC相交于点D，E，则DE的长为