《37第七节正弦定理和余弦定理》教案.doc

正弦定理和余弦定理 适用学科 数学 适用年级 高三 适用区域 新课标 课时时长 60分钟 知 识 点 使用正弦定理要注意的问题 解的个数问题 已知两边和其中一边的对角问题 已知两角一边问题 三角形的面积公式 使用余弦定理要注意的问题 已知两边与夹角问题 已知三边问题 正、余弦定理的综合运用 教学目标 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 教学重点 1、正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用； 2、在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； 3、三角形各种类型的判定方法 教学难点 正、余弦定理的灵活应用 教学过程 课堂导入 三角形是最基本的几何图形．三角形中的数量关系，有着极其广泛的应用．在初中，我们已经能够借助于锐角三角函数解决有关直角三角形的测量问题．在实际工作中，我们还会遇到许多其它的测量问题，这些仅用锐角三角函数就不够了．如： 1．怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离？ 2．怎样测量底部不可到达的建筑物的高度？ 3．怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度？ 4．怎样测出海上航行的轮船的航速和航向？ 5．怎样确定航向，才能在航速一定的情况下，尽快与一运动的物体(如轮船)相遇？等等． 研究这些问题显然需要明白三角形中的边长与角度之间的数量关系，那么本次课我们就来发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，并将它们融入已有的知识体系．复习预习 回忆在三角函数中学过的公式三角函数诱导公式： 三角函数的两角和或差公式： 三角函数的二倍角公式： 三角函数的辅助角公式： 知识讲解 考点1 正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A ;b2＝a2＋c2－2accos_B ;c2＝a2＋b2－2abcos_C 变形形式 a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C sin A＝，sin B＝，sin C＝(其中R是△ABC外接圆半径) a∶b∶c＝sin_Asin_B∶sin_C ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝ cos B＝ cos C＝ 解决三角形的问题 已知两角和任一边，求另一角和其他两条边． 已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角. 已知三边，求各角； 已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角  考点2 在ABC中，已知a、b和A时，解的情况 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b a≤b 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 例题精析 【例题1】 【题干】在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝. (1)求的值； (2)若cos B＝，ABC的周长为5，求b的长． 【解析】(1)由正弦定理，设＝＝＝k， 则＝＝， 所以＝， 即(cos A－2cos C)sin B＝(2sin C－sin A)cos B， 化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)． 又因为A＋B＋C＝π，所以sin C＝2sin A.因此＝2. (2)由＝2得c＝2a.由余弦定理及cos B＝得 b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋4a2－4a2×＝4a2. 所以b＝2a.又a＋b＋c＝5，从而a＝1.因此b＝2.  【例题2】 【题干】在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C. (1)求角A的大小； (2)若sin B＋sin C＝，试判断ABC的形状． 【解析】2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C， 得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2， cos A＝＝，A＝60°. (2)A＋B＋C＝180°， B＋C＝180°－60°＝120°. 由sin B＋sin C＝，得sin B＋sin(120°－B)＝， sin B＋sin 120°cos B－cos 120°sin B＝. ∴sin B＋cos B＝，即sin(B＋30°)＝1. 又0°＜B＜120°，30°＜B＋30°＜150°， B＋30°＝90°，即B＝60°. A＝B＝C＝60°，ABC为正三角形．  【例题3】 【题干】已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，acos C＋asin C－b－c＝0. (1)求A； (2)若a＝2，ABC的面积为，求b，c. 【解析】(1)由acos C＋asin C－b－c＝0及正弦定理得 sin Acos C＋sin Asin C－sin B－sin C＝