一道圆与函数综合题.docVIP

一道圆与函数综合题 试题提供者：雷珮瑛（广州大学附属中学） 《圆》在华东师大版教材改版后的地位有所上升，估计我市中考也将对《圆》相关知识的考核有所倾斜．为适度强化学生对《圆》相关知识的综合应用能力，发展学生的空间观念，我参照我市2006年初中毕业生学业考试第22题编制试题． 1.解题的主要策略和方法： 解试题原形的主要策略和方法是数形结合、用待定系数法求一次函数的解析式等基本数学思想和方法．编制的试题与其保持一致． 2.试题的知识载体： 试题原形的知识载体是：直线与圆的位置关系、一次函数及其图象的性质、勾股定理等基础知识．编制的试题在此基础上增加了垂径分弦定理． 3.试题的原形： 如图的半径为1，过点A(2，0)的直线切于点交y轴于点C(1)求线段AB的长； (2)求以直线AC为图象的一次函数的解析式． 4.编制的试题： 如图4-1，⊙O的半径为5，点A是⊙O上的一个动点，过点A的直线l与⊙O相交于点B，以直线l为图象的一次函数解析式为y = k(x-8) (k为常数)． (1) 求直线l与两坐标轴交点的坐标； (2) 如果AB=6，求点O到直线l的距离； (3) 求(2)中k的值． 5.试题的详细解答： 解：(1)令x=0，解得y=-8k ∴直线与y轴的交点M的坐标为(0，-8k) ………2分 令y=0，解得x=8 ∴直线与x轴的交点N的坐标为(8，0) ………4分 (2)连结OB，过点O作OD⊥直线l，垂足为D ∴OB= 5 又∵AB= 6 ∴BD= 3 ………6分 在Rt△OBD中， ∵∠ODB=90° ∴OD == 4 ………8分 (3) 方法一：在Rt△ODN中，∵DN == 4 ………10分 又∵∠OMD + ∠MOD =90°；∠NOD + ∠MOD =90° ∴∠OMD=∠NOD ∴Rt△OMD∽Rt△NOD ∴ ∵NO= 8 ∴OM= ………12分 ∴|8k |= ∴k =± ………14分 6.试题的编制过程分析： 6.1 改变位置关系，形成初稿 试题的原形入口宽，出口更宽．我尝试保留直线与圆相切改编了几次，都不能做到，只好把圆的切线改成了割线，把弦长定为已知条件，再给出弦所在直线上一点的坐标，让学生求一次函数解析式，形成了第一稿： 如图6-1，⊙O的半径为5，过点N(8，0)(2) 求k． 这样修改，能提高学生的得分率，但并不能指引更多的学生找到破题口．为了改变这种状况，我给学生架设了“路牌”，指向解题的必经之路：“求点O到直线l的距离”，形成第三稿： 如图6-2，⊙O的半径为5，直线l与⊙O相交于A、B两点，AB=6，以直线l为图象的一次函数解析式为y = k(x-8) (k为常数)． (1) 求直线l与两坐标轴交点的坐标； (2) 求点O到直线l的距离； (3) 求k． 6.3 转换表达形式，变静为动 第(3)问有两解，学生很容易漏解，为此我想到了两种修改方案：第一种方案，缩小k的范围，使解减少到一个，直接了当地删去易错点，降低难度．考虑到该题要放在第24题的位置，我选择了第二种方案，让点A动起来，引导学生用动态的观点思考问题，使不同的学生得到不同的发展．定稿： 如图6-3，⊙O的半径为5，点A是⊙O上的一个动点，过点A的直线l与 ⊙O相交于点B，以直线l为图象的一次函数解析式为y = k(x-8) (k为常数)． (1) 求直线l与两坐标轴交点的坐标； (2) 如果AB=6，求点O到直线l的距离； (3) 求(2)中k的值． 7.学生的解答情况分析： 我校本题满分率约为2.4%，零分率约为4.9%，平均分为8.10分，难度为0.58，区分度为0.77．学生的答卷中，空白卷不多，解法却多样，体现了本题易入手、多出口的特征． 7.1第(3)问的十种解法 第一类方法：三角函数 在Rt△ODN中 ∴ ∴∠MOD =∠OND =30° 方法二： ∴在Rt△ODN中，OD =OMcos30° ∴4=|8k| 解得k =± 方法三： ∴在Rt△OMN中，OM =ONtan30° ∴|8k|=8× 解得k =± 第二类方法：三角形相似 方法四： 如图7-2，过点D作DP⊥x轴，垂足为P点 易证△OND∽△ODP ∴ ∴ ∴PO =2 在Rt△ODP中，∵DP == 2 ∴P1 (2，2)或P2 (2，-2) ∴当直线l过点P1时，2 = k(2-8) 解得k =- 当直线l过点P2时，-2 = k(2-8) 解得k