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三角函数有关的中考数学题展析 温州 三角函数在高中是一个非常重要的函数，用途很广泛，而在初中关于锐角三角函数的定义给初中直角三角形问题的解决同样起了关键作用。在去年的浙江省各市的中考试题中多次出现运用三角函数定义来解决直角三角形的问题，且分值可观。我们知道初中的几何与代数的联系的一个重要环节就是利用三角函数，我们常遇见直角三角形中三边的关系用勾股定理，而要联系角和边就需要借助三角函数，因此透过三角函数的定义和本身的意义的考查确实是检测学生各方面的知识和能力的好方法。因此我们也会发现一个共同的问题，归纳起来就是要回到定义，这种定义法思想在2008年浙江省的各市中考数学试题中体现的非常明显。当我们去看2009年的考试说明时：我们发现了（1）认识锐角三角函数(sinA, cosA, tan A),知道角的三角函数值，（2）会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角（3）运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题----要求是C，即能在理解的基础上，把对象运用到新的情境中，能综合运用知识，灵活，合理地选择与运用有关的方法完成给定的数学任务；主动参与特定的数学活动，通过观察，实验，推理等活动发现对象的某些特征或与其他对象的区别和联系。 下面就2008年与三角函数有关的中考试题做一简要分析 特殊角三角函数的计算------三角函数应用的着眼点 例1：（义乌第17题）计算：； 分析：要计算这个结果，需要学生掌握特殊角的三角函数值，对于9个结果每个都要非常清楚，在教材九年级下册第5至7页重点研究了定义还有角的三角函数值。书中提到：在直角三角形中，如果有一个锐角是，那么另一个锐角是，设斜边为2，则两直角边分别是1，，从而根据定义得出特殊角的三角函数值。同理，在等腰直角三角形中，如果有一直角边长为1，可根据定义求出的三角函数值，列表如下 A SinA CosA TanA 解：=2.5 　 评析：本题以三角函数和正数的立方根为考查对象，全面考查学生对特殊角的三角函数值的掌握情况，以及实数之间的基本运算，是对学生运算能力的一次大检阅。 命题意图：本题对三角函数的考查重在结果的记忆方面，而对此结果是怎么来的并不做考究，学生想把握好这些计算内容就是在理解的基础上要加强记忆，记忆也是数学学习的一个重要方法。而死记硬背不是好方法，好方法就是在两个特殊的直角三角形中去分析把握。 锐角三角函数的定义--------三角函数应用的起跑线 例2：（湖州第10题）如图，已知直角三角形中，斜边的长为，，则直角边的长是（ ） A． B． C． D． 分析：本题考查学生的分析能力，在这样的一个直角三角形中，已知斜边和一个锐角，怎样求其它量的问题。学生首先得分析出运用哪个三角函数是最直接的，是最有效的。即具体到直角三角形背景下的锐角的余弦的定义。在教材中是这样定义的。 解:在三角形ABC中，由角B的余弦定义可知 选B 评析：这是湖州中考卷的第10题，难度值不大，但是体现的信息是从定义角度入手，成功加以解决，要求学生对三角函数的定义非常清晰，能迅速找到定义中所需要的各边，将各边按照定义的方式先写出，从而再进行必要的转化。 命题意图：考查学生对于教材的把握程度，引导学生回归课本，哪怕是一个很小的定义，也要充分的理解和把握，不能忽略。所以中考的复习阶段要重点抓住两个方面展开，一个考试说明，二是课本教材上的定义，定理和典型例题练习。 例3：（义乌第18题）． 如图，小明用一块有一个锐角为的直角三角板测量树高，已知小明离树的距离为4米，DE为1.68米，那么这棵树大约有多高？（精确到0.1米） 分析：本题考查如何将实验问题转化为数学几何问题的能力，要明确求树高CE可以转化为求CD和DE，而DE 就是小明的身高，所以只需求CD，再利用三角函数的定义寻找CD与AD之间的关联就可以。这是一个常见的实际应用题，而这个应用的解法中需要用到三角函数的定义， 解：∵ ， ∴ ∴ = ∴ 这棵树的高大约有米高. 评析:这是义乌卷的一道大题，看似简单，但蕴涵的信息却很多，首先是线段的分解，其次是直角三角形中已知一个角和一条直角边求其它量的问题。学生不仅要会转化线段，也要学会利用角的正切的定义分析已知与未知量之间的关系，从而解决问题。 命题意图：了解了锐角三角函数的定义就把握了问题的解决方案，也就是站在了解决问题的制高点上。强化这种定义的方式是衔接初高中数学的一种很好的方式。为高中数学的进一步学习提供了一个可靠的方法，那就是要重点把握概念和定义，也就是把握基础。 三角函数的工具功能--------三角函数应用的广泛面 解决圆问题中的特殊三角形问题 例4：（金华第20题）如图, CD切