上海高三解析几何专题.doc

精锐教育学科教师辅导讲义 学员编号： 年 级： 课时数：3 学员姓名：顾超雷 辅导科目：数学 学科教师：方钊 课 题 解析几何 解析几何专题 一、直线与圆锥曲线的位置关系： 回顾圆锥曲线章节知识点： 标准方程； 参数方程（主要是圆和椭圆）： 圆的.椭圆： 切线方程： 圆上一点的切线方程为： 过圆上一点的切线方程： 圆为，切线方程是 . 当圆外时,这两个方程表示切点弦方程。 抛物线： 抛物线上一点处的切线方程是. 同理，当在曲线外部时，上述方程表示切点弦方程。 过两圆与的交点的直线（公共弦）的方程为：（两圆相切时为过切点的公切线方程） 内外部： 焦半径公式，焦点弦长公式、通径： 双曲线（a＞0,b＞o）的焦半径公式：( , 当在右（上）支上时， ,.（） 当在左（下）支上时， ,（） 二、直线与圆锥曲线的位置关系： 1、判别式： 由，消去y→ax2+bx+c=0（a≠0），Δ=b2 －4ac 交点个数： ①当 a=0或a≠0，Δ=0时, 曲线和直线只有一个交点； ②当 a≠0, Δ0时, 曲线和直线有两个交点； ③ 当Δ0 时, 曲线和直线没有交点 3、点差法： 椭圆； 双曲线 抛物线： 用点差法解圆锥曲线的中点弦问题 　　 与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。 解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。 若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为、，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。 本文用这种方法作一些解题的探索。 以定点为中点的弦所在直线的方程 例1、过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程。 解：设直线与椭圆的交点为、 为的中点 　　 又、两点在椭圆上，则， 两式相减得 于是 即，故所求直线的方程为，即。 例2、已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、，且点是线段的中点。若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由。 策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线　，然后验证它是否满足题设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。 解：设存在被点平分的弦，且、 则， ， 两式相减，得 　 故直线 由　消去，得 这说明直线与双曲线不相交，故被点平分的弦不存在，即不存在这样的直线。 评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的位置非常重要。（1）若中点在圆锥曲线内，则被点平分的弦一般存在；（2） 若中点在圆锥曲线外，则被点平分的弦可能不存在。 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹 例3、已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点，求点的坐标。 解：设弦端点、，弦的中点，则 ， 又 ， 两式相减得 即 ，即 点的坐标为。 例4、已知椭圆,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。 解：设弦端点、，弦的中点，则 ， 又 ， 两式相减得 即，即 ，即 由，得 点在椭圆内 它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为 求与中点弦有关的圆锥曲线的方程 例5、已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程。 解：设椭圆的方程为，则┅┅① 设弦端点、，弦的中点，则 ， ， 又， 两式相减得 即 ┅┅② 联立①②解得， 所求椭圆的方程是 四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题 例6、已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。 解：设，为椭圆上关于直线的对称两点，为弦的中点，则， 两式相减得， 即 ，， 　　这就是弦中点轨迹方程。 它与直线的交点必须在椭圆内 联立，得　则必须满足， 即，解得 五：定点、定值问题 论证曲线过定点及图形（点）在变化过程中存在不变量 例7、已知P、Q是椭圆C：上的两个动点，是椭圆上一定点，是其左焦点，且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列。 求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A； 【解题思路】利用“|PF|、|MF|、|QF|成等差数列”找出两动点间的坐标关系 证明：设知 同理 ①当， 从而有 设线段PQ的中点为， 得线段PQ的中垂线