专题---数列求和方法.docVIP

数列求和的方法 1、公式法： 如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n项和的公式来求. ①等差数列求和公式： ②等比数列求和公式： 常见的数列的前n项和：， 1+3+5+……+(2n-1)= ，等. 2、错位相减法： 类似于等比数列的前n项和的公式的推导方法。若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差·比”数列，则采用错位相减法. 若，其中是等差数列，是公比为等比数列，令 则 两式相减并整理即得 例1、（2008年全国Ⅰ第19题第（2）小题，满分6分） 已知 ，求数列｛an｝的前n项和Sn. 解： ① ② ②—①得 例2、已知数列，求前n项和。 思路分析：已知数列各项是等差数列1，3，5，…2n-1与等比数列对应项积，可用错位相减法求和。 解： 当 当 小结：错位相减法的求解步骤：①在等式两边同时乘以等比数列的公比；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n项和的公式求和. 变式训练、求和： 3、倒序相加法： 类似于等差数列的前n项和的公式的推导方法。如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法. 例3、已知函数 （1）证明：； （2）求的值. 解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边 （2）利用第（1）小题已经证明的结论可知， 两式相加得： 所以. 小结：解题时，认真分析对某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序相加法求和. 变式训练、求值： 4、裂项相消法： 把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。适用于类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等。用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法： （1），特别地当时， （2），特别地当时 例4、数列的通项公式为，求它的前n项和 解： = 小结：裂项相消法求和的关键是数列的通项可以分解成两项的差，且这两项是同一数列的相邻两项，即这两项的结构应一致，并且消项时前后所剩的项数相同. 变式训练、求数列的前n项和. 5、分组求和法： 有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 例5、求和： 解： 小结：这是求和的常用方法，按照一定规律将数列分成等差（比）数列或常见的数列，使问题得到顺利求解. 变式训练、求和： 基本练习 1.等比数列的前ｎ项和Sｎ＝2ｎ－１，则＝________________. 2.设，则＝_______________________. 3. . 4. =__________ 5. 数列的通项公式 ，前n项和 6 的前n项和为_________ 提高练习 1．数列{an}满足：a1＝1，且对任意的m，n∈N*都有：am＋n＝am＋an＋mn，则 ( ) A． B． C． D． 2．数列{an}、{bn}都是公差为1的等差数列，若其首项满足a1＋b1＝5，a1＞b1，且a1，b1∈N*，则数列{}前10项的和等于 ( ) A．100 B．85 C．70 D．55 3．设m=1×2+2×3+3×4+…+(n-1)·n，则m等于 ( ) A. B.n(n+4) C.n(n+5) D.n(n+7) 4．若Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n，则S17+S33＋Ｓ50等于 ( ) A.1 B.-1 C.0 D.2 5．设{an}为等比数列,{bn}为等差数列，且b1=0,cn=an+bn,若数列{cn}是1,1,2,…,则{cn}的前10项和为 ( ) A.978 B.557 C.467 D.979 6．1002-992+982-972+…+22-12的值是 ( ) A.5000 B.5050