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专题八 压轴题专练 1.（本小题满分14分）已知函数. (1) 试证函数的图象关于点对称; (2) 若数列的通项公式为, 求数列的前m项和 (3) 设数列满足: , . 设. 若(2)中的满足对任意不小于2的正整数n, 恒成立, 试求m的最大值. 1.解: (1)设点是函数的图象上任意一点, 其关于点的对称点为.由 得所以, 点P的坐标为P.…(2分) 由点在函数的图象上, 得. ∵ ∴点P在函数的图象上.∴函数的图象关于点对称。…(4分) (2)由(1)可知, , 所以, 即………………(6分) 由, ……………… ① 得 ………………② 由①＋②, 得 ∴………………(8分) (3) ∵,……③∴对任意的.…④ 由③、④, 得即. ∴.………(10分) ∵∴数列是单调递增数列. ∴关于n递增. 当, 且时, .∵ ∴………………(12分) ∴即∴ ∴m的最大值为6.………(14分) 2. （14分）已知正项数列中，，点在抛物线上；数列中，点在过点，以方向向量为的直线上. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）若，问是否存在，使成立，若存在，求出值；若不存在，说明理由； （Ⅲ）对任意正整数，不等式成立，求正数的取值范围. 2.解：（Ⅰ）将点代入中得…（4分） （Ⅱ）………………………………（5分） ………（8分） （Ⅲ）由 ………（14分） 3.对于定义在区间上的两个函数和，如果对任意的，均有不等式成立，则称函数与在上是“友好”的，否则称“不友好”的.现在有两个函数与，给定区间. （1）若与在区间上都有意义，求的取值范围； （2）讨论函数与在区间上是否“友好”. 3.解：（1）函数与在区间上有意义，必须满足 （2）假设存在实数，使得函数与在区间上是“友好”的， 则 即 （*） 因为，而在的右侧， 所以函数在区间上为减函数，从而 于是不等式（*）成立的充要条件是 因此，当时，函数与在区间上是“友好”的；当时，函数与在区间上是不“友好”的. 4. 如图所示，是抛物线的焦点，点为抛物线内一定点，点为抛物线上一动点，的最小值为8. （1）求抛物线方程； （2）若为坐标原点，问是否存在定点，使过点的动直线与抛物线交于两点，且以为直径的圆恰过坐标原点, 若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由. 4.解：设抛物线的准线为，过作于，过作于， （1）由抛物线定义知 (折线段大于垂线段)，当且仅当三点共线取等号.由题意知,即抛物线的方程为： 5分 （2）假设存在点，设过点的直线方程为， 显然，，设，，由以为直径的圆恰过坐标 原点有 ① 6分 把代人得 由韦达定理 ② 7分 又 ③，②代人③得 ④ ②④代人①得动直线方程为必过定点 10分 当不存在时，直线交抛物线于,仍然有， 综上：存在点满足条件 12分 注：若设直线BC的方程为可避免讨论. 5. 在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点为 A（0，－1），B（0, 1）平面内两点G、M同时满足① , ②= = ③∥ （1）求顶点C的轨迹E的方程 （2）设P、Q、R、N都在曲线E上 ，定点F的坐标为（, 0） ，已知∥ , ∥且·= 0.求四边形PRQN面积S的最大值和最小值. 5.解析：本例（1）要熟悉用向量的方式表达点特征；（2）要把握好直线与椭圆的位置关系，弦长公式，灵活的运算技巧是解决好本题的关键。 答案：（1）设C ( x , y )， ,由①知,G为 △ABC的重心 ， G(,) 由②知M是△ABC的外心，M在x轴上 由③知M（，0），由 得 化简整理得：（x≠0）。 （2）F（，0 ）恰为的右焦点 设PQ的斜率为k≠0且k≠±，则直线PQ的方程为y = k ( x －) 由 设P(x1 , y1) ，Q (x2 ,y2 ) 则x1 + x2 = , x1·x2 = 则| PQ | = · = ·= RN⊥PQ,把k换成得 | RN | = S =| PQ | · | RN |= =) ≥2 ， ≥16 ≤ S 2 ， (当 k = ±1时取等号) 又当k不存在或k = 0时S = 2 综上可得 ≤ S ≤ 2 Smax = 2 ， Smin = 点评：本题考查了向量的有关知识，椭圆与直线的基本关系，二次方程的根与系数的关系及不等式，转化的基本思想方法以及运用