东北大学历年期末高等数学试题.docVIP

八、高等数学试题 2005/1/10 一、填空题（本题20分，每小题4分） 1．已知 2．设函数，当a= ,b= 时，f(x)在x=1处可导。 3．方程共有 个正根。 4．当 时，曲线的曲率最大。 5． 。 二、选择题（本大题24分，共有6小题，每小题4分） 1．下列结论中，正确的是（ ） （A）若，，则； （B）发散数列必然无界； （C）若，，则； （D）有界数列必然收敛。 2．函数在处取得极大值，则必有（ ）。 （A）； （B）； （C）或不存在； （D）且。 3．函数在上可导的充分条件是：在上（ ） （A）有界； （B）连续； （C）有定义； （D）仅有有限个间断点。 4．设，，，则必有关系式（ ） （A） ；（B）；（C）；（D）。 5．设在的某邻域内具有三阶连续导数，如果，而，则必有（ ）。 （A）是极值点，不是拐点； （B）是极值点，不一定是拐点； （C）不是极值点，是拐点； （D）不是极值点，不是拐点。 6．直线与平面的位置关系是（ ） （A）与平行但不在上； （B）与垂直相交； （C）在上； （D）与相交但不垂直。 6．微分方程的特解形式为（ ） (A)； （B）； （C）； (D) 三、计算下列各题（每小题7分，共28分） 1．计算 2．求 3．设，求。 4．求。 四、解答下列各题（每小题7分，共21分） 1．在半径为R的球内嵌入有最大体积的圆柱体，求此时圆柱体体积的最大值以及底半径与高的值。 2．计算由椭圆所围成的图形的面积以及此图形绕x轴旋转一周而形成的旋转体的体积。 3*．在由平面和平面所决定的平面束内求两个相互垂直的平面，其中一个经过点。 3．在曲线上每一点处切线在y轴上的截距为，且曲线过点。求此曲线方程。 五、（7分）设函数在上连续，在（0，3）内可导，且有。试证：必有使。 答案 一、1.ln3；2.a=-1,b=2；3.1；4.；5.1. 二、1.A；2.C；3.B；4.D；5.C；6.A. 三、1.；2.；3.；4.. 四、1. ，；2.； 九、高等数学试题 2006/1/10 一、选择题（本大题24分，共有6小题，每小题4分） 1．下列结论中，正确的是[ ] （A）有界数列必收敛； （B）单调数列必收敛；（C）收敛数列必有界；（D）收敛数列必单调。 2.设函数f(x)在U(x0，()内有定义，对于下面三条性质： ① f(x)在x0点连续；② f(x)在x0点可导；③f(x)在x0点可微. 若用“P ( Q”表示由性质P推出性质Q，则应有[ ] (A) ②(③(①；(B) ②(①(③；(C)③(①(②； (D) ①(②(③。 3.曲线[ ] (A)既有水平渐近线，又有垂直渐近线；(B)仅有水平渐近线；(C)仅有垂直渐近线；(D)无任何渐近线。 4.设函数 f(x)在[a,b]上有定义，则存在的必要条件是[ ] (A) f(x)在[a,b]上可导；(B) f(x)在[a,b]上连续；(C) f(x)在[a,b]上有界；(D) f(x)在[a,b]上单调。 5. y = y(x)是微分方程y( + 3y(=e2x的解，且y((x0) = 0，则必有[ ] (A) y(x)在x0某邻域内单调增加； (B) y(x)在x0某邻域内单调减少； (C) y(x)在x0取极大值；(D) y(x)在x0取极小值. 6.若f(x)的导函数是sinx，则f(x)有一个原函数是[ ] (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 二、填空题（将正确答案填在横线上，本大题共9小题, 每小题4分, 共36分） 1. 2.__________. 3.. 4._________. 5. 6. 7. 8. 9. 三、(8分)计算不定积分. 四、(8分)求曲线的升降区间, 凹凸区间及拐点. 五、(8分)求微分方程的通解. 六、(10分)在[0，1]上给定函数，问为何值时,如图所示 阴影部分的面积与的和最小，何时最大？并求此时两图形 绕轴旋转一周所得的旋转体的体积。 七、(6分)设,且不恒为常数, .试证: 一、1．(C) 2.(A) 3.(A ) 4 .(C). 5.(D) 6. (B) 二、1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 9*. 三、 四、内为上升曲线. 所以凸区间为 ( 凹区间为 ( 拐点为. 五、. 六、最小 所求体积为 = 十、高等数学试题 2007/1/14 一、选择题（本大题20分，共有5小题，每小题4分）