东南大学07-08-2高数(AB)期中试卷参考答案及评分标准.docVIP

07-08-2(A、B)期中试卷参考答案及评分标准 一.填空题（每小题4分，满分24分） 1．当时，与是等价无穷小，则，； 2．已知，则，； 3．函数带余项的阶公式是 ； 4．； 5．当某质点沿曲线运动到点处时, 该质点的坐标和坐标关于时间的变化率相等，点的坐标为； 6．函数的单调增加区间为，极大值为. 二.单项选择题（每题4分，满分12分） 7．设对, 有, , 则 [ D ] (A) 存在且等于零 (B) 存在且不等于零 (C) 一定不存在 (D) 不一定存在 8．极限 [ B] (A) (B ) (C) (D) 9．函数的不可导点的个数为 [ C ] (A) (B) (C) (D) 三.计算题（每小题8分，满分32分） 10． 解 11. 设，求. 解 12．设，求. 解 13.试确定常数、的值，使得曲线和在点处相切，并求切线方程. 解 ，（）曲线点处的切线的斜率为，（曲线点处的切线的斜率为，（）由得，从而，（）切线方程为 四(14).（8分）讨论的连续性，并指出间断点的类型（应说明理由）. 解 ） ，，（ 在和上连续，是的跳跃间断点. 五(15).（8分）设函数在上定义，,并对任意实数和,恒有, 证明在上处处可导,并求. 解 在等式中令，得，（） 则，（）于是在上处处可导，且（） 六(16). (8分) 设, , 且，证明：当时，. 证 设，（）则，令，得唯一的驻点，（3分）且，是唯一的极小值点，因而是最小值点。（）故，不等式得证。（） 七(17)．(8分) 设在闭区间上具有一阶连续导数，在开区间内二阶可导，且，， 试证：至少存在一点 使得. 证 若，由定理知， ，使得；（若 ，不妨设，且.由于，由定理知， ，使得（，再由于，且 ，由介值定理知， ，使得，（）再由定理知， ，使得.（） 共3页 第1页