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第十三章 函数及其图像 【例题精选】： （一），图像及其性质 例1 如图1-9-1所示等腰梯形ABCD，AB‖CD ∠C = ∠D=60°， AD =AB =2求： （1）梯形各顶点坐标。 （2）B点关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标。 解：（1）在Rt△AOD中，∠AOD =90°∠D =60°AD =2， ∴点D坐标（0，1），点A坐标（，0） ∵ AB=2,AB⊥x轴，∴点B坐标（，2），根据等腰梯形的对称性，∴ 点C坐标为（0，3） （2）点B关于x轴的对称点 坐标为（，－2），关于y轴对称的点坐标为（-，2），关于原点对称的点的坐标为（-，-2）。 例2：求下列各函数中自变量的取值范围。 分析：用解析式表示的函数关系，要使解析式有意义的自变量的取值范围可分为整式，自变量可以取任意实数；解析式是分式，自变量的取值应使分母不等于零；解析式如果是二次根式，自变量的取值应使被开方式的值大于等于零；如果是三次根式，自变量可以取任意实数，如果解析式是以上几种形式综合而成的，自变量的取值要同时满足这些条件。 解：（1）∵是整式函数 ∴取值范围是任意实数。 （2）x应满足 即 ∴x的取值范围是x0且x≠5的任意实数。 ∴x的取值范围是 （4）x应满足 ∴x的取值范围是 ( 5 ) x应满足 ∴x的取值范围是 ( 6 ) x应满足 ∴x的取值范围是 例3：等腰三角形ABC的周长为10cm，底边BC为ycm ， 腰AB的长为x cm ，（1）写出y关于x的函数的解析式；（2）求x的取值范围；（3）求y的取值范围。 解：依题意 所求函数解析式为 。 （2）∵x、y均为线段，∴, 即： ∴x的取值范围为 的任意实数， （3）y的取值范围为 小结：求自变量取值范围应使实际问题才有意义，要把所有有影响的条件都考虑到，如例3就要考虑成为三角形两边之和大于第三边。 例4：离山脚30米处向上铺台阶，每上4级台阶升高1米，（1）求离山脚高度h与台阶数n之间的函数关系式；（2）已知山脚至山顶高为217米，求自变量n的取值范围。 解：（1）依题意：（n是非负整数） （2） ∴ n的取值范围是的非负整数。 注意：这里n是台阶数，取值范围应为非负整数。 例5：已知一次函数满足下列条件，分别求出字母p、q的取值范围。 （1）y随x值的增大而增大。 （2）函数图像与y轴交点在x轴上方。 （3）函数图像不经过第一象限 分析：根据一次函数性质或图像在平面直角坐标系中的位置，决定中k、b的符号，借助不等式的知识，使问题得以解决。 解：（1）， ∴当时，y随x值的增大而增大。 （2）函数图像与y轴交点在x轴上方。 ∴ ∴当 ，图像与y轴交点在x轴上方。 （3）∵图像不经过第一象限 ∴ ∴当，图像不经过第一象限。 例6 ：已知二次函数 （1）用配方法化为的形式 （2）求它的顶点坐标和对称轴方程。 （3）根据图像指出，当x取何值时，y随x值的增大而减小。 （4）当x取何值时，y有最大（小）值，值是多少？ （5）求抛物线和x轴的交点坐标、和y轴的交点坐标。 （6）根据图像指出，当x取何值时。 解： （1）。 （2）顶点坐标为（－4，1），对称轴方程x= —4。 （3）抛物线如图1-9-2所示，当x－4时，y随x值的增大而减小。 （4）当x=－4时，y有最大值，最大值是1。 （5）令y=0， 令x=0，得y=－3，∴抛物线与x轴的交点坐标为（－2，0），（－6，0），与y轴交点坐标为（0，－3）。 （6）观察图像可知， 小结：考察函数性质，很重要的方法是通过图像观察，因此，认真、准确地画好图像，对解题有很大的帮助，有的时候，还可以通过图像讨论系数的各种不同的取值，使字母系数图像特征，函数性质不断地互相转化，给解题带来便利， 例7：已知函数问：（1）抛物线的对称轴在y轴的左侧还是右侧；（2）抛物线和x轴有无交点，如果有，写出交点坐标；（3）抛物线和y轴的交点在x轴的上方还是下方? 解：（1）∵ ∴抛物线的对称轴在y轴的左侧。 （2）∴ ∴抛物线与x轴有两个不同的交点，坐标为。 （3）∵c0抛物线与y轴的交点坐标（0,C） ∴ 抛物线与y轴交点在x轴下方。 （二）待定系数法 例8：y1是x轴的正比例函数, y2是关于x的一次函数，已知当x=1时，它们的函数值互为相反数，当x=－1时，它们的函数值的和为4，当时，它们的函数值相等，求他们的函数解析式，并画出它们的图像。 分析：根据正比例函数和一次函数的意义可以设y1=kx, y2=mx+n(k≠0,m≠0 )，再根据所给的条