中考复习专题之八---因动点问题产生的线段和差问题.docVIP

1.8 因动点产生的线段和差问题 例1 2012年滨州市中考第24题 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2, －4 )、O(0, 0)、 B(2, 0)三点． （1）求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式； （2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM＋OM的最小值． 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“12滨州24”，拖动点M在抛物线的对称轴上运动（如图2），可以体验到，当M落在线段AB上时，根据两点之间线段最短，可以知道此时AM＋OM最小（如图3）． 请打开超级画板文件名“12滨州24”，拖动点M， M落在线段AB上时， AM＋OM最小． 答案 （1）。 （2）AM＋OM的最小值为． 图2 图3 例2 2012年山西省中考第26题 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点，′D上时，MB＋MD最小，△MBD的周长最小． 思路点拨 1．第（2）题探究平行四边形，按照AP为边或者对角线分两种情况讨论． 2．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，构造点B关于“河流”AC的对称点B′，那么M落在B′D上时，MB＋MD最小，△MBD的周长最小． 满分解答 （1）由y＝－x2＋2x＋3＝－(x＋1)(x－3)＝－(x－1)2＋4， 得A(－1, 0)、B(3, 0)、C(0, 3)、D(1, 4)． 直线AC的解析式是y＝3x＋3． （2）Q1(2, 3)，Q2()，Q3()． （3）设点B关于直线AC的对称点为B′，联结BB′交AC于F． 联结B′D，B′D与交AC的交点就是要探求的点M． 作B′E⊥x轴于E，那么△BB′E∽△BAF∽△CAO． 在Rt△BAF中，，AB＝4，． 在Rt△BB′E中，，，，． 所以．所以点B′的坐标为． 因为点M在直线y＝3x＋3上，设点M的坐标为(x, 3x＋3)． 由，得．所以． 解得．所以点M的坐标为． 图2 图3 考点伸展 第（2）题的解题思路是这样的： ①如图4，当AP是平行四边形的边时，CQ//AP，所以点C、Q关于抛物线的对称轴对称，点Q的坐标为(2, 3)． ②如图5，当AP是平行四边形的对角线时，点C、Q分居x轴两侧，C、Q到x轴的距离相等． 解方程－x2＋2x＋3＝－3，得．所以点Q的坐标为()或 ()． 图4 图5