中考复习专题之五---因动点问题产生的梯形问题.docVIP

1.5 因动点产生的梯形问题 例1 2012年上海市松江区中考模拟第24题 已知直线y＝3x－3分别与x轴、y轴交于点A，B，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A，B． （1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）记该抛物线的对称轴为直线l，点B关于直线l的对称点为C，若点D在轴的正半轴上，且四边形ABCD为梯形． ①求点D的坐标； ②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P，其对称轴与直线y＝3x－3交于点E，若，求四边形BDEP的面积． ．，四边形BDEP的面积．．．．直线y＝3x－3与x轴y轴y＝ax2＋2x＋c 解得 所以抛物线的表达式y＝x2＋2x点B关于直线l的对称点Cy＝3x＋C(－2,－3)，可得b＝3． 所以点D的坐标为（0，3）． ②过点P作PH⊥y轴，垂足为H，那么∠PDH＝∠DPE． 由，得． 而DH＝7，所以PH＝3． 因此点E的坐标为（3，6）． 所以． 图2图3 ．所以BD＝3BC＝6，OD＝3．因此D（0，3）． 例2 2012年衢州市中考第24题 如图1，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A(1，2)，过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O、A、C三点． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移的过程中与△COD重叠部分的面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“12衢州24”， 拖动点P在线段OC上运动，可以体验到，在AB的左侧，存在等腰梯形ABPM．拖动点A′在线段AC上运动，可以体验到，Rt△A′OB′、Rt△COD、Rt△A′HG、Rt△OEK、Rt△OFG和Rt△EHK的两条直角边的比都为1∶2． 请打开超级画板文件名“12衢州24”，拖动点P在线段OC上运动，可以体验到，在AB的左侧，存在AM=BP．拖动点A′在线段AC上运动，发现S最大值为0.375． 思路点拨 1．如果四边形ABPM是等腰梯形，那么AB为较长的底边，这个等腰梯形可以分割为一个矩形和两个全等的直角三角形，AB边分成的3小段，两侧的线段长线段． 2．△AOB与△COD重叠部分的形状是四边形EFGH，可以通过割补得到，即△OFG减去△OEH． 3．求△OEH的面积时，如果构造底边OH上的高EK，那么Rt△EHK的直角边的比为1∶2． 4．设点A′移动的水平距离为m，那么所有的直角三角形的直角边都可以用m表示． 满分解答 （1）将A(1，2)、O(0，0)、C(2，1)分别代入y＝ax2＋bx＋c， 得 解得，，． 所以． （2）如图2，过点P、M分别作梯形ABPM的高PP′、MM′，如果梯形ABPM是等腰梯形，那么AM′＝BP′，因此yA－y M′＝yP′－yB． 直线OC的解析式为，设点P的坐标为，那么． 解方程，得，． x＝2的几何意义是P与C重合，此时梯形不存在．所以． 图2 图3 （3）如图3，△AOB与△COD重叠部分的形状是四边形EFGH，作EK⊥OD于K． 设点A′移动的水平距离为m，那么OG＝1＋m，GB′＝m． 在Rt△OFG中，．所以． 在Rt△A′HG中，A′G＝2－m，所以． 所以． 在Rt△OEK中，OK＝2 EK；在Rt△EHK中，EK＝2HK；所以OK＝4HK． 因此．所以． 所以． 于是． 因为0＜m＜1，所以当时，S取得最大值，最大值为． 考点伸展 第（3）题也可以这样来解：设点A′的横坐标为a． 由直线AC：y＝－x＋3，可得A′(a, －a＋3)． 由直线OC：，可得． 由直线OA：y＝2x及A′(a, －a＋3)，可得直线O′A′：y＝2x－3a＋3，． 由直线OC和直线O′A′可求得交点E(2a－2，a－1)． 由E、F、G、H 4个点的坐标，可得 例3 2011年北京市海淀区中考模拟第24题 已知平面直角坐标系xOy中 抛物线与直线的一个公共点为 （1）求此抛物线和直线的解析式； （2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值； （3）记（1）中抛物线的顶点