中考数学压轴题-二次函数.docVIP

2012冲击满分-中考二次函数压轴题训练 （附分析、解答过程、点评） 已知，如图1，过点E（0，-1）作平行于x轴的直线l，抛物线y= 14x2上的两点A、B的横坐标分别为-1和4，直线AB交y轴于点F，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点C、D，连接CF、DF． （1）求点A、B、F的坐标； （2）求证：CF⊥DF； （3）点P是抛物线y= 14x2对称轴右侧图象上的一动点，过点P作PQ⊥PO交x轴于点Q，是否存在点P使得△OPQ与△CDF相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 分析：（1）有两种方法，方法一是传统的点的待定系数法，方法二，通过作辅助线，构造△BGF∽△BHA由比例关系求出F点坐标． （2）也有两种方法，方法一，在Rt△CEF中算出△DEF边长利用勾股定理证明CF⊥DF；方法二利用几何关系求出∠CFD=90°； （3）求存在性问题，先假设存在，看是否找到符合条件的点P的坐标，此题分两种情况；（1）Rt△QPO∽Rt△CFD；（2）Rt△OPQ∽Rt△CFD，根据比例求出P点坐标． 解答：解： （1）方法一：如图1，当x=-1时，y= 14；当x=4时，y=4 ∴A（-1， 14）（1分） B（4，4）（2分） 设直线AB的解析式为y=kx+b（3分） 则 {-k+b=144k+b=4 解得 {k=34b=1 ∴直线AB的解析式为y= 34x+1（4分） 当x=0时，y=1∴F（0，1）（5分） 方法二：求A、B两点坐标同方法一，如图2，作FG⊥BD，AH⊥BD，垂足分别为G、H，交y轴于点N，则四边FOMG和四边形NOMH均为矩形，设FO=x（3分） ∵△BGF∽△BHA ∴ BGBH=FGAH ∴ 4-x4-14=45（4分） 解得x=1 ∴F（0，1）（5分） （2）证明：方法一：在Rt△CEF中，CE=1，EF=2CF2=CE2+EF2=12+22=5 ∴CF= 5（6分） 在Rt△DEF中，DE=4，EF=2 ∴DF2=DE2+EF2=42+22=20 ∴DF=2 5 由（1）得C（-1，-1），D（4，-1） ∴CD=5 ∴CD2=52=25 ∴CF2+DF2=CD2（7分） ∴∠CFD=90° ∴CF⊥DF（8分） 方法二：由（1）知AF= 1+(34)2=54，AC= 54 ∴AF=AC（6分） 同理：BF=BD ∴∠ACF=∠AFC ∵AC∥EF ∴∠ACF=∠CFO ∴∠AFC=∠CFO（7分） 同理：∠BFD=∠OFD ∴∠CFD=∠OFC+∠OFD=90° 即CF⊥DF（8分） （3）存在． 解：如图3，作PM⊥x轴，垂足为点M（9分） 又∵PQ⊥OP ∴Rt△OPM∽Rt△OQP ∴ PMPQ=OMOP∴ PQOP=PMOM（10分） 设P（x， 14x2）（x＞0）， 则PM= 14x2，OM=x ①当Rt△QPO∽Rt△CFD时， PQOP=CFDF=525=12（11分） ∴ PMOM=14x2x=12 解得x=2∴P1（2，1）（12分） ②当Rt△OPQ∽Rt△CFD时， PQOP=DFCF=255=2（13分） ∴ PMOM=14x2x=2 解得x=8 ∴P2（8，16） 综上，存在点P1（2，1）、P2（8，16）使得△OPQ与△CDF相似．（14分） 点评：此题是一道综合性较强的题，前两问方法多，有普通的方法和新颖的方法，作合适的辅佐线很重要，最后一问是探究性问题，发散思维． ——————————————————————————————————————— 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D (4，-23)． （1）求抛物线的解析式． （2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同 时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设S=PQ2（cm2） ①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； ②当S取 54时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由． 在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标． 分析：（1）设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，求出A、B、D的坐标代入即可； （2）①由勾股定理即可求出，②假设存在点R，可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形，求出P、Q的坐标，再分为三种情况：A、B、C即可根据平行四边形的性质求出R的坐标． （3）A关于抛物线的对称轴的对称点为B，过B、D的直线与抛物线的对